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函数的基本性质
一、函数的单调性
函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）
定理1：x1?x2??a,b?,x1?x2那么
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
x1?x2定理2：（导数法确定单调区间） 若x??a,b?，那么
f??x??0?f(x)在?a,b?上是增函数； f??x??0?f(x)在?a,b?上是减函数.
1.函数单调性的判断(证明)
(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法
2.复合函数的单调性的判定
对于函数y?f(u)和u?g(x)，如果函数u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当x??a,b?时
u??m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数y?f(g(x))在区间?a,b?具
有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断
对于两个单调函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??： (1)当f(x)和g(x)具有相同的增减性时， ①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性与f(x)相同， ②F2(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)的增减性不能确定； g(x)(2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么： ①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定；
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②F2(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数，F5(x)?(f(x)?0)g(x)f(x)为减函数。
4.奇偶函数的单调性
奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
二、函数的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数y?f(x)的图象的对称性（自身）: 定理1: 函数y?f(x)的图象关于直x?a?b对称 2?f(a?x)?f(b?x)?f(a?b?x)?f(x)
特殊的有：
①函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)。 ②函数y?f(x)的图象关于y轴对称（奇函数）?f(?x)?f(x)。 ③函数y?f(x?a)是偶函数?f(x)关于x?a对称。
定理2：函数y?f(x)的图象关于点(a,b)对称
?f(x)?2b?f(2a?x)?f(a?x)?f(a?x)?2b
特殊的有：
① 函数y?f(x)的图象关于点(a,0)对称?f(x)??f(2a?x)。 ② 函数y?f(x)的图象关于原点对称（奇函数）?f(?x)??f(x)。 ③ 函数y?f(x?a)是奇函数?f(x)关于点?a,0? 对称。
定理3：（性质）
①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
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③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. ②函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?a?b对称. 2m特殊地: y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称 ③函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称的解析式为y?f(2a?x) ④函数y?f(x)的图象关于点(a,0)对称的解析式为y??f(2a?x) ⑤函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
3．奇偶函数性质
对于两个具有奇偶性的函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??： （1）满足定义式子f(?x)?f(x)（偶）f(x)?f(?x)?0（奇） （2）在原点有定义的奇函数有f(0)?0
(3)当f(x)和g(x)具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)也为奇函数； ②F2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?奇函数±奇函数=奇函数，
偶函数±偶函数=偶函数， ③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数
奇函数×奇函数=偶函数，
(4)当f(x)和g(x)具有相异的奇偶性时，那么：
偶函数×偶函数=偶函数， 奇函数×偶函数=奇函数.
①F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)的奇偶性不能确定； ②F2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?
f(x)(g(x)?0)为偶函数； g(x)简单地说：
f(x)g(x)(g(x)?0)、F5(x)?(f(x)?0)为奇函数。 g(x)f(x)第 4 页 共 14 页
（6）任意函数f(x)均可表示成一个奇函数g(x)?1?f(x)?f(?x)?与一个偶函数h(x)?1?f(x)?f(?x)?的和。
22（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数
（8）图形的对称性 关于y轴对称的函数（偶函数）关于原点?0,0?对称的函数（奇函数） （9）若f(x)是偶函数，则必有f(ax?b)?f??(ax?b)? 若f(x)是奇函数，则必有f(ax?b)??f??(ax?b)? （10）若f(ax?b)为偶函数，则必有f(ax?b)?f(?ax?b) 若f(ax?b)是奇函数，则必有f(ax?b)??f(?ax?b) （11）常见的奇偶函数
三、函数的周期性
函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。
1.周期性的定义
对于函数y?f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T是函数f(x)的周期，那么?T、nT（n?N）也是函数f(x)的周期。
*2. 函数的周期性的主要结论：
结论1：如果f(x?a)?f(x?b)（a?b），那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?a?b 结论2：如果f(x?a)??f(x?b)（a?b），那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a?b 结论3：如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴x?a、x?b对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a?b
结论4：如果偶函数f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a
结论5：如果奇函数f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?4a
结论6：如果函数同时关于两点?a,c?、?b,c?（a?b）成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a?b
结论7：如果奇函数f(x)关于点?a,c?（a?0）成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a
结论8：如果函数f(x)的图像关于点?a,c?（a?0）成中心对称，且关于直线x?b（a?b）成
