圈圈
开放探索创新
20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD?于E，EF∥BC交AC于F，那
么AE与CF相等吗？请验证你的结论．
中考真题实战
21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD?为平行四边形，则应添加的条
件是________．（添加一个即可）
22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，?则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是_________． 23．（南京）已知如图19-1-55所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：（1）??△AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．
Y
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答案:
1．C 2．C 3．D 4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）× 5．AD=BC或AB∥CD
6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC． 又∵∠3=∠4，∴AB∥CD． ∴四边形ABCD是平行四边形． 7．证明：∵AB=CD，BC=AD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．
又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE=EF．
8．证明：∵FC∥AB，
∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC． 又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴DE=EF．
∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形． ∴CD=AF．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AB//DC．
又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形． ∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F． 同理，∠BDM=∠DMC． ∵BD=BF，∴∠BDF=∠F． ∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．
10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG． ∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形， ∴BG// AD．
在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG． ∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB． 11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AD=BC． ∵CE=CD，∴AB//CE， ∴四边形ABEC为平行四边形． ∴BF=FC，∴OF//1AB，即AB=2OF． 2 12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AB∥CD，AD∥BC． 又∵EF∥AB，∴EF∥CD．
∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．
又∵M，N分别为ABEF和ECDF对角线的交点． ∴M为AE的中点，N为DE的中点， 即MN为△AED的中位线．
YY ∴MN∥AD且MN= 13．4 14．B
1AD． 21AC． 2 15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF// 同理，GH//1AC． 2 ∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形． 16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线， ∴EF=
111AB，DE=AC，DF=BC． 222 又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，
222222
而3+4=25=5，即DE+DF=EF． ∴△EDF为直角三角形． ∴S△EDF=
112
DE·DF=×3×4=6（cm）． 221AB． 2 17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点． ∴MN是△ABC的中位线，∴MN=
∴AB=2MN=2×20=40（m）．
故A，B两点间的距离是40m． 18．解：连接DE．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD． ∵DF=
11CD，AE=AB， 22 ∴DF//AE．
∴四边形ADFE是平行四边形．
∴EF=AD=1cm．
∵AB=2AD，∴AB=2cm．
∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE． ∴∠1=∠4．
∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°， ∴∠1=∠A=∠4=60°．
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∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE． ∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．
∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°． ∴∠ADB=∠3+∠4=90°． ∴BD=AB2?AD2?22?12=3（cm）．
19．解：延长AD交BC于F．
（1）∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠FDC=90°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD． 在△ACD与△FCD中，
∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD． ∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．
又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC． （2）由（1）知AC=FC，DE=12BF． ∴DE=
12（BC-FC）=12（BC-AC）． 20．解：AE=CF．
理由：过E作EG∥CF交BC于G， ∴∠3=∠C．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°． ∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD． 又∵∠1=∠2，BE=BE， ∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE． ∵EF∥BC，EG∥CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF， ∴AE=CF．
21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC． 22．
12 23．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B． ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴DF=
112CD，BE=2AB，∴DF=BE， ∴△AFD≌△CEB．
（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD． 由（1）得BE=DF，
∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．
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