五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中??????1)的直线，均匀椭球
222x2y2z2???1，其中（0?c?b?a,密度为1）绕l旋转。 a2b2c2（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值。 解：
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
d2?(1??2)x2?(1??2)y2?(1??2)z2?2??xy?2??yz?2??zx
Q???xydV????yzdV????zxdV?0
??????zdV???2c?czdzx22??1?2a2b2cy2??z224dxdy???ab(1?2)zdz??abc3
?cc15z2c由轮换对称性，
2x???dV??44?a3bc,???y2dV??ab3c 1515?444?a3bc?(1??2)?ab3c?(1??2)?abc3 151515I????d2dV?(1??2)?4?abc[(1??2)a2?(1??2)b2?(1??2)c2] 15（2）Qa?b?c
4?当??1时，Imax??abc(a2?b2)
154当??1时，Imin??abc(b2?c2)
15?六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线
积分
2xydx??(x)dy的值为常数。 42??x?yc22（1）设L为正向闭曲线(x?2)?y?1,证明
2xydx??(x)dy?0; 42??x?yc（2）求函数?(x)；
（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
2xydx??(x)dy。 42??x?yc解：
（1） L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段L1，L2，再从A，B作一曲线L3，
使之包围原点。
则有
2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy ??j?x4?y2i?i4242?x?yx?yLL1?L3L??L23（2） 令P?2xy?(x),Q?
x4?y2x4?y2由（1）知
?Q?P??0，代入可得 ?x?y?'(x)(x4?y2)??(x)4x3?2x5?2xy2
上式将两边看做y的多项式，整理得
y2?'(x)??'(x)x4??(x)4x3?y2(?2x)?2x5
由此可得
?'(x)??2x
?'(x)x4??(x)4x3?2x5
解得：?(x)??x
'（3） 取L为x?y??，方向为顺时针
4242Q?Q?P??0 ?x?y?i?c2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy??i?'x4?y2i?42x4?y2x?y'?c?LL4L'??1?i?2xydx?xdy??2
2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求lim??sinx??x?0x??11?cosx11?cosx；
解：（用两个重要极限）：
?sinx?lim??x?0x???limex?0?sinx?x??lim?1??x?0x??sinx?xx?013x2limxsinx?x?sinx?xx?1?cosx?sinx?xx?1?cosx??e?ecosx?1x?032x2lim?e1?x2lim2x?032x2
?13?e
11??1（2）.求lim???...??； n??n?1n?2n?n??111解：(用欧拉公式）令xn? ??...?n?1n?2n?n11由欧拉公式得1??L??lnn=C+o（1），2n
1111则1??L???L??ln2n=C+o（1），2nn?12n其中，o?1?表示n??时的无穷小量，
?两式相减，得：xn-ln2?o（1）,?limxn?ln2.
n??
2t?x?ln1?e??d2y?（3）已知?，求。 2tdxy?t?arctane??et1?2tt2tdx2e2tdyetdye?e?11?e解： ?,?1????2t2t2t2t2edt1?edt1?edx2e1?e2tdyd?dy?1e?21?e?2?????g2t?2tdxdt?dx?dx2e2edt2t2t2tt1?ee????2?4t4e
二．（本题10分）求方程解：设P?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解。
?2x?y?4,Q?x?y?1，则Pdx?Qdy?0
?P?QQ??1,?Pdx?Qdy?0是一个全微分方程，设dz?Pdx?Qdy
?y?xz??dz??Pdx?Qdy???x,y??0,0??2x?y?4?dx??x?y?1?dy
?P?QQ?,?该曲线积分与路径无关
?y?x12?z???2x?4?dx???x?y?1?dy?x?4x?xy?y?y
002xy2三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且
f?0?,f'?0?,f\?0?均不为
0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得
limh?0k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?hh?02?0。
证明：由极限的存在性：lim?k1f??h??k2f?2h??k3f?3h??f?0????0
即
?k1?k2?k3?1?f?0??0，又f?0??0，?k1?k2?k3?1①
k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?h2k1f'?h??2k2f'?2h??3k3f'?3h?
由洛比达法则得
limh?02h'''由极限的存在性得lim?k1f?h??2k2f?2h??3k3f?3h???0
??h?0h?0?lim?0即
?k1?2k2?3k3?f'?0??0，又f'?0??0，?k1?2k2?3k3?0②
再次使用洛比达法则得