株洲市二中2013届高三第五次月考试卷
数 学 试 题（理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 1．i是虚数单位，则复数
A．1
i的虚部是 （ ） 1?i11B．-1 C． D．?
22B．380
C．210
( )
D．140
2． 已知等差数列?an?中，a2?7，a4?15，则前10项和S10＝
A．420
3．已知??(3?,?),sin??,则tan(??)等于 ( ) 25411A． B. 7 C. ? D. ?7
77俯视图的是
（ ）
?4．若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，则下列图形一定不是该几何体的
x2y2??1的右焦点，则此抛物线的方程是5．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线：
1312（ ）
A．y?2x
2 B．y?4x C．y?10x D．y?20x
2226． 一个算法的程序框图如右图所示，若输出的结
99，则判断框中应填入的条件是 ( ) 100A.i?98? B. i?99? C. i?100? D.i?101?
7．已知f(x)?|ln(x?1)|，若存在x1,x2?[a,b]使得
果为x1?x2,且f(x1)?f(x2)，则对以下实数a、b的
描述正确的是( )
8． 已知函数
（ ）
A．a?2 B．1?a?2 C．b?2 D．b?2
对任意自然数x,y均满足：
f(x?y2)?f(x)?2[f(y)]2，且f(1)?0，则
f(2010)等于 ( )
A．2010 B．2009 C．1005 D．1004
二、填空题：本大题共8个小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
（一）选做题（从下列三题中任意选做两题，若三题全做，则只按前两题记分） 9．（平面几何选讲）如图，CD是圆O的直径，AE切圆O于点B，
连结DB，?D?20?，则?DBE的大小为 。 10．（不等式选讲）不等式|x?3|?|x?4|?a的解集为空集，则
实数a的取值范围是 。
11．（极坐标与参数方程）在同一直角坐标系中，若曲线
A
C B
E O D ?x?m?2cos??x?2?4tC:?（?为参数）与曲线D:?（t为参数）
y?2sin?y?3t?2??没有公共点，则实数m的取值范围是 。 （二）必做题（12~16题） 12．若(x?1)?a1x?a2xnnn?1???an?1,则a1?a2???an?1= 。
13．已知a?2，b?2，a与b的夹角为45?，要使?b?a与a垂直，则?= 。
?2x,x?a,若方程f(x)?2无实数根，则a的取值范围14．设函数f(x)???1?x,x?2是 。 15．已知a?0,b?0，且
?a0(2x?b)dx?2，则4a?2a?b的最小值是 。
16．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
112123123412n?1,,,,,,,,,,?,,,?,,? 2334445555nnn有如下运算和结论：
3; 8②数列a1,a2?a3,a4?a5?a6,a7?a8?a9?a10,?是等比数列；
①a24?n2?n; ③数列a1,a2?a3,a4?a5?a6,a7?a8?a9?a10,?的前n项和为Tn?45④若存在正整数k，使Sk?10,Sk?1?10,则ak?.
7其中正确的结论有 （填写序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）
已知向量a?(2cos,1),b?(?sin （1）当a?b时，求tanx的值；
x2x,3cosx) 2（2）设函数f(x)?(a?b)?a,在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且
f(A)?4,a?10，求?ABC的面积S的最大值。
18．（本小题满分12分）
学校体育节拟举行一项趣味运动比赛，选手进入正赛前通过“海选”，参加海选的
选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止后面的测试，通过海选。甲同学通过项目A、B、C测试的概率分别为互独立。
（1）若甲同学先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率； （2）若甲同学按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的
概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为?,求?的分布列和期望（用p1,p2,p3表示）。
19．（本小题满分12分）
如图，ABCD是边长为2的正方形，面EAD?面ABCD，且EA=ED，O是线段
AD的中点，过E作直线l//AB,F是直线l上一动点。 （1）求证：OF?BC；
（2）若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直，求二面角B—OF—C的
余弦值。
20．（本小题满分13分）
如图，在一条河流的上、下游分别有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内
111,,,且通过各次测试的事件相432E D A F
C
排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3 (含甲厂排放的污水）；乙厂每天向
河道内排放污水1.4万m，每天流过乙厂的河水流量是700万m(含乙厂排放的污水).由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时；有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.
(1) 求河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是多少？（精确到0.01%) (2)
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根据环保要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两家工厂都必须各自处
理一部分污水.已知甲厂处理污水的成本是1000元/万m3，乙厂处理污水的成本是800元/万m3，
求甲、乙两厂每天应分别处理多少万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小？最小总
费用是多少元？
21．（本小题满分13分）
x21?y2?1相交于A、 已知直线l:y?x?b(b?0)与椭圆C:B两点，点P在椭44圆C上但不在直线l上。
（1）若P点的坐标为(1,3)，求b的取值范围； 2 （2）是否存在这样的点P，使得直线PA、PB的斜率之积为定值？若存在，求出P点坐
标及定值，若不存在，说明理由。
22．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?ae?x?ax,a为实常数。
（1）求证：当x?0时，不等式f(x)?f(?x)恒成立； （2）求f(x)的单调区间；
（2）设斜率为k的直线与f(x)的图象交于A、B两点，其横坐标分别为x1,x2，若
x2f'(x0)?k，求证：x0?
x1?x2. 2附答案：
一 选择题：CCAD DBAC
