黄冈奥数学校—小升初奥数综合复习 小学奥数系统复习讲义(完整版) 姓名:
? 余数与同余 在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部
分．比如，用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布 ☆关于乘方的预备知识：
A a×b a b
①若A=a×b，则M=M =（M） B c+d c d
②若B=c+d则M=M =M×M 们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数，而是先按用水量的
整数吨数收费把余量推至下月一起收．所以数学上引进了符号[ ]，使我 ☆同余的定义：
们的表述简明． ①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
[a] 表示不超过 a的最大整数，称为 a的整数部分．
②已知三个整数 a、b、m，如果m|a-b，就称 a、b对于模 m同余，记作 a ≡b(mod m)，读作a同余于 b模m。
☆同余的性质：
u 自身性：a≡a(mod m)；
u 对称性：若 a≡b(mod m)，则 b≡a(mod m)；
u 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
u 和差性：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则 a+c≡b+d(mod m)，a-c
≡b-d(mod m)；
u 相乘性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡b×d(mod m)； u 乘方性：若 a≡b(mod m)，则 a≡b (mod m)；
u 同倍性:若a≡b(mod m)，整数c，则a×c≡b×c(mod m×c)；
[a] 显然有以下性质：
①[a] 是整数； ②[x]≤x； ③x＜[x]+1；
④若b≥1，则［a＋b］＞〔a〕； 若b≤1，则〔a＋b〕≤[a]+1．
请你自己举些例子验证前三条性质． 性质④举例：a取 2.7，则〔a〕=2．
121. +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 除以 3的余数是多少？
若b=1.1，那么〔a＋b〕=〔2.7+1.1〕=3>2=〔a〕．
若b=0.5，那么［a＋b］=［2.7+0.5］＝〔3.2〕=3=〔a〕+1；
若b=0.1，那么［a＋b］=〔2.8〕=2<〔a〕＋1． 〔a〕还有许多性质．例：若 n是整数，则有：〔a+n〕=〔a〕+n．
122. 一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。 与〔a〕相关的是数a的小数部分，我们用符号{a}表示．
问这个整数是几？ 高斯方程（取整）的性质：
性质 1 对任意 x∈R,均有 x-1<[x]≤x<[x]+1. 性质 2 对任意 x∈R,函数 y={x}的值域为[0,1).
性质 3 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意 x1,x2∈R,若
123. 6520，14903，14177除以m（m不为0）的余数相同，求m最小是多 x1≤x2,则[x1]≤[x2].
少？最大是多少？ 性质 4 若 n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明 y={x}
是一个以 1 为周期的函数.
性质 5 若 x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1. 性质 6 若 n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x].
性质 7 若 n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰有[x/n]个整数是 n 的倍 5555 3333 124. 3333 +5555 除以7的余数？
数.
125. 方程：［ｘ］+ 2x =10
? 高斯取整
黄冈奥数学校 www.chinaaoshu.com 希望杯、走美杯、迎春杯、华杯赛、IMC竞赛、希望等级考试报名与集训 010-58407700 010-62271009
黄冈奥数学校—小升初奥数综合复习 小学奥数系统复习讲义(完整版) 姓名:
126. 符号 n!=1x2x3x??n, 求 100！后面有多少个零？ ? 最值与优化
本知识点难度非常高，不在课堂讲授，请同学们课外自行复习巩固。 挑战华罗庚金杯决赛压轴题：
127. 方程：2x -［ｘ］= 4
132. 第十届决赛）已知A、B均为自然数，且满足
求A+B的最大值。（需详细解题过程）
? 不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如
要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢 番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。 不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较 为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每 年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学 生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等 数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧， 创造性的解决问题。
不定方程的两种基本思路： l 是否整除 l 分情况讨论
128. 定方程3x+5y=1204有多少组自然数解。
第四部分 图形知识
图形属于小学奥数三大专题之一，主要考察学生们对平面图形和立体
129. 种铅笔7分钱一支，乙种铅笔 3分钱一支，张明用6角钱恰好买两
种不同的铅笔共多少支？
图形的认识、建构、以及对周长、面积、表面积、体积的计算等方面的知 识，图形问题的重点在于等积变换的直线型面积 序号 1 2 3
? 几何计数
几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三 角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺
知识点名称 几何计数 周长与面积 长方体与正方体 数论知识点列表
130. 方程 7x+19y=213的所有正整数解．
序号 4 5 6 知识点名称 体积与表面积 阴影面积 直线型面积
131. x+10y=140. 11x+3y=89
黄冈奥数学校 www.chinaaoshu.com 希望杯、走美杯、迎春杯、华杯赛、IMC竞赛、希望等级考试报名与集训 010-58407700 010-62271009
黄冈奥数学校—小升初奥数综合复习 小学奥数系统复习讲义(完整版) 姓名:
B C D E A
会通过观察、思考探寻事物规律的能力。 u 规则图形
序去观察、思考问题
F 好习惯，逐步学
134. 中有多少条不同的三角形？
1．数体段规律：一条直线上若有 n个点，则有线段条数为1＋2＋3＋?＋
（n－1）=
n（n -1）
2
135. 图中有多少个不同的正方形？
2．数角规律：若有n条边，则有角的个数为：1＋2＋3＋?＋（n－1）
n（n -1） =
2
136. 中有多少个不同的长方形？
3．数长方形规律：长上的线段的条数×宽上的线段条数 m（m-1） n（n-1） = ×
2 2
2 2 2 4．数正方形规律：最大边上的单位线段数为n，则有正方形1＋2＋3＋?
＋n2
137. 中有多少个不同的正方形？
u 不规则图形
1．方法：合理分类，进行枚举，不重复，不遗漏。 2．分类方式：面积大小，图形形状，线段长度等分类。 【例题】下图中有多少条不同的线段？
【解】以A为起点的线段有AB，AC，AD，AE，AF，AG
以B为起点的线段有BC，BD，BE，BF，BG 以C为起点的线段有CD，CE，CF，CG 以D为起点的线段有DE，DF，DG 以E为起点的线段有EF，EG 以F为起点的线段有FG
共有线段：6+5+4+3+2+1=6(6+1)÷2=21条
138. 图，有多少条线段，多少个三角形？
139. 图中有多少条线段？有多少个三角形？
140. 中一共有多少个三角形？有多少个梯形？
巩固练习
133. 中共有多少条不同的线段？
141. 中共有多少个正方形？
黄冈奥数学校 www.chinaaoshu.com 希望杯、走美杯、迎春杯、华杯赛、IMC竞赛、希望等级考试报名与集训 010-58407700 010-62271009
黄冈奥数学校—小升初奥数综合复习 小学奥数系统复习讲义(完整版) 姓名:
142. 图，圆周上有五个点，最多可以画多少条线段？最多可以画多少个 【解】设小正方形的边长为a，大正方形比小正方形多的面积，我们分割
三角形？ 成两部分计算:则有（a+2）×2 + a×2 =24， a=5,小正方形的面积为25。
巩固练习
146. 如下图的面积。
143. 中共有42个正方形，在这些正方形中，所含的数字之和能被5整
除的有多少个？
147. 行四边形ABCD（见下图，单位：厘米）的周长是多少厘米？
144. 中每个最小三角形的面积为1，求图中所有三角形面积之和。
148. 下图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，
其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、 宽各是多少？
145. 中有多少个不同的三角形？
149. 方形的一组对边增加 30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到
一个与原正方形面积相等的长方形，求原正方形的面积？
? 周长与面积
本讲主要学习5种常见图形的面积求法：长方形，正方形，平行四边 形，三角形，梯形。
u 长方形面积等于长乘以宽: S=a×b； u 正方形面积等于边长乘以边长： S=a×a； u 平行四边形面积等于底乘以高： S=a×h； u 三角形面积等于底乘以高除以2: S= a×h÷2
u 梯形面积等于上底加下底的和乘以高除以2: S=(a+b) ×h÷2
150. 下图，7个面积不同的长方形组成一个大正方形，大正方形面积是
36平方厘米，求阴影部分的面积。
151. 图，矩形ABCD被分割成9个小矩形，其中有5个小矩形的面积如
图所示，矩形ABCD的面积为多少？
【例题】大正方形面积比小正方形面积多24平方米，求小正方形的面积 是多少？
152. 中的数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三
角形的面积是多少？
黄冈奥数学校 www.chinaaoshu.com 希望杯、走美杯、迎春杯、华杯赛、IMC竞赛、希望等级考试报名与集训 010-58407700 010-62271009
