x2?93tant??dx??3secttantdt?3?tan2tdt?3?(sec2t?1)dtx3sect
3?3tant?3t?C?x2?9?3arccos?C.|x|3 （x?3secx时，cosx?,sinx?x★★★(3)
x2?9,tanx?xx2?9） 3?dx(x?1)23
思路:令x?tant,t?解：令x?tant,t??2，三角换元。
?2，则dx?sectdt。
2??sec2tdtdtx????costdt?sint?C??C 3??232sectsect(x?1)1?xdx★★★(4)
?dx(x?a)223
思路:令x?atant,t?解：令x?atant,t??2，三角换元。
????2dxasec2tdtdt11??33??2?2?costdt?2sint?Casectasectaa(x2?a2)3，则dx?asectdt。
2xa2
a?x22?C.★★★★(5)
?xx2?14dx
x?12思路:先令u?x，进行第一次换元；然后令u?tant,t??2，进行第二次换元。
1x2?1解：?dx??dx2，令u?x2得：
2x2x4?1xx4?1x2?1?1u?12u?tant,t?，令，则du?sectdt， dx?du?xx4?12?uu2?12x2?1 17
??1u?11tant?11tant?12du?sectdt?sectdt???4222tant?sect2tantxx?1uu?1111??(csct?sect)dt?lnsect?tant?lncsct?cott?C222dx?11?lnu2?1?u?ln22u2?111??C?lnuu21x?1?x?ln242x2?1
x4?1?1?C.x2（与课本后答案不同）
★★★(6)
?5?4x?x2dx
思路:三角换元，关键配方要正确。 解：
5?4x?x2?9?(x?2)2，令x?2?3sint,t??2，则dx?3costdt。
??5?4x?x2dx??9cos2tdt?9?1?cos2tt1dt?9(?sin2t)?C2249x?2x?2?arcsin?5?4x?x2?C.232★★4、求一个函数
f(x),满足f'(x)?11?x，且
f(0)?1。
思路:求出11?x11?x的不定积分，由条件f(0)?1确定出常数C 的值即可。
解：
?dx??11?xd(x?1)?21?x?C.
令f(x)?21?x?C，又f(0)?1，可知C??1，
?f(x)=21?x?1.
★★★5、设In??tannxdx,，求证：In?n1tann?1x?In-2，并求?tan5xdx。 n?1n?2思路:由目标式子可以看出应将被积函数tanx 分开成tanxtan2x，进而写成：
tann?2x(sec2x?1)?tann?2xsec2x?tann?2x，分项积分即可。
证明：In?tanxdx?(tan?n?n?2xsec2x?tann?2x)dx??tann?2xsec2xdx??tann?2xdx
18
??tann?2xdtanx?In?2?1tann?1x?In?2.n?1111n?5时，I5??tan5xdx?tan4x?I3?tan4x?tan2x?I1
4421111?tan4x?tan2x??tanxdx?tan4x?tan2x?lncosx?C.4242习题4-3
1、 求下列不定积分：
知识点：基本的分部积分法的练习。
思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则
进行分部积分的练习。
★（1）
?arcsinxdx
00思路:被积函数的形式看作xarcsinx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数x优先纳入到微分
号下，凑微分后仍为dx。
解：arcsinxdx?xarcsinx?x??11?x2dx?xarcsinx?11d(1?x2) ?21?x2?xarcsinx?1?x2?C.
★★（2）
?ln(1?x2)dx
思路：同上题。
2x2x22dx?xln(1?x)??dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)??x221?x1?x222(x2?1)?2dx2?xln(1?x)??dx?xln(1?x)?2dx?2??1?x2 1?x2?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C.2★（3）
?arctanxdx
思路：同上题。
dx1d(1?x2)?xarctanx??解：?arctanxdx?xarctanx??x 1?x221?x2 19
1?xarctanx?ln(1?x2)?C
2x?2x★★(4)esindx ?2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：
xx1?2x1?2xx1?2x1x?2xesindx?sind(?e)??esin?ecosdx ??222222?221x1x1??e?2xsin??cosd(?e?2x)224221x11x1x??e?2xsin?(?e?2xcos??e?2xsindx)2242242
1?2xx1?2xx1?2xx??esin?ecos??esindx2282162x2e?2xxx?2x??esindx??(4sin?cos)?C.21722★★(5)
2x?arctanxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
x313131dx 解：?xarctanxdx??arctanxd()?xarctanx??x3331?x22
131x3?x?x131x?xarctanx??dx?xarctanx?(x?)dx 22?331?x331?x111x1312112?x3arctanx??xdx??dx?xarctanx?x?d(1?x)22?3331?x3661?x
111?x3arctanx?x2?ln(1?x2)?C.366★(6)
xxcosdx ?2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xcosdx?2xdsin
★★(7)
?x2?xxxxxx?2xsin?2?sindx?2xsin?4?sind 222222xx?2xsin?4cos?C.
222xtanxdx ?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
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