中考系列复习——猜想性专题
一、中考要求
能够根据题目中的图形或者数字直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、知识网络图 如图1所示：
猜想数式规律 猜想性问题 猜想规律型 猜想图形规律 猜想数值结果 猜想结论型 猜想数量关系 猜想变化情况 图1
三、基础知识整理
猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
四、考点分析 1、猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1（云南）观察按下列顺序排列的等式： 9?0?1?1； 9?1?2?11； 9?2?3?21； 9?3?4?31； 9?4?5?41； ??
猜想：第n个等式（n为正整数）用n表示，可以表示成________________. 分析：根据以上各等式所呈现出来的特征，可以猜想这个等式的基本结构形式为
9 × 一个数 + 另一个数 = 结果
其中，“另一个数”就是等式的序号n；“一个数”比它小1，即为n-1；结果的个位为1，个位以前的数字等于“一个数”n-1，所以结果表示为10(n-1)+1. 因此，这个等式为
9(n-1) + n = 10(n-1) + 1.
这个猜想的结果是否正确，还可以用整式运算的知识加以验证。
等式的左边 = 9n - 9 + n = 10n – 9；等式的右边 = 10n – 10 + 1 = 10n – 9 . 所以，等式的左边 = 等式的右边。 说明所列等式成立。 2、猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例2（河北课改实验区）观察图2所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
??
①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32；
④ ；
⑤ ；
??
图2
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； （2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式. 分析：（1）本题图形中所反映出来的数字关系已经列出三个，下面就以它们为例，填写
22
后两个。易得④1+3+5+7=4；⑤1+3+5+7+9=5.
2
（2）仿照例1的思路可以猜想：1+3+5+?+(2n-1)=n . 3、猜想数值结果
当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值。
例3（辽宁大连）阅读材料，解答问题。 材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1(－3 ，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y?x2上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5??(如图3所示)。过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则
S?P1P2P3?S梯形P1H1H3P3?S梯形P1H1H2P2?S梯形P2H2H3P3111(9?1)?2?(9?4)?1?(4?1)?1 222 ?1 ?即△P1P2P3的面积为1。”
图3
问题：
⑴求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；
⑵猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积，并说明理由(利用图4)
yPn+2Pn+1PnPn-1O图13图4
x⑶若将抛物线y?x2改为抛物线y?x2?bx?c，其它条件不变，猜想四边形Pn－
1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案)
分析：（1）阅读材料为我们提供了解题思路，可供借鉴。 S四边形PPPP= S△PHP – S梯形PH HP - S梯形PH HP - S△PHP
1234
1
14
1
1
22
2
2
33
3
34
1111
= 2 ×9×3 – 2 (9+4)×1 – 2 (4+1)×1 – 2 ×1×1 = 27/2 – 13/2 – 5/2 - 1/2 = 8/2 = 4. 即四边形P1P2P3P4的面积为4.
同理，可得四边形P2P3P4P5的面积为4.
（2）猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积为4. 理由如下：
2222
设点Pn－1、Pn、Pn+1、Pn+2的纵坐标分别为(x-1)、x、(x+1)、(x+2)，则
S四边形Pn
= S梯形Pn
－1
－1
PnPn+1Pn+2
Hn-1Hn+2Pn+2 – S梯形Pn－1Hn-1HnPn - S梯形PnHnHn+1Pn+1 - S梯形Pn+1Hn+1Hn+2Pn+2
1111
= ×[(x-1)2+(x+2)2]×3 – [(x-1)2+ x2]×1 – [ x2+(x+1)2]×1 – ×[(x+1)2+(x+2)2]×1 22223111
222
= 2 (2x+2x+5) – 2 (2 x-2x+1) – 2 (2 x+2x+1) – 2 (2 x2+6x+5) 1
= 2 [(6x2+6x+15)- (2 x2-2x+1) –(2 x2+2x+1) –(2 x2+6x+5)] = 8/2 = 4.
即四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积为4.
（3）由于抛物线y?x2改为抛物线y?x2?bx?c后，如果其它条件不变，只是抛物线的位置发生了变化，它的形状以及四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的形状都不变，所以猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积也不变，仍为4.
4、猜想数量关系
数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在
猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。
例4（江苏连云港）（1）如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?b，CD?a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
HDCEAGFB图5
DEa?b?1时，有EF?； AE2DEa?2b?2时，有EF?②当； AE3DEa?3b?3时，有EF?③当． AE4DE?k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明； 当AE（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图6所示），其中AB∥CD，AD?AB，AB?310米，DC?170米，AD?70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块
①当
DC
AB图6
