20．（本题12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车某高中研究性小组经过反复试验获得，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图：
该函数近似模型如下：含量值为
,又已知刚好过1小时时测得酒精
毫克百毫升根据上述条件，回答以下问题：
试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ 试计算喝一瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？时间以整小时计算 参考数据：
，
，
，
毫克百毫升；（2）需6
【答案】（1）喝一瓶啤酒个小时后才可以合法驾车。 【详解】 解：此时又所以所以当
时，函数
，
由图可知，当函数
小时血液中的酒精含量达到最大值
取得最大值时，，
；
，解得；
，由二次函数的性质可知，
取得最大值为，
毫克百毫升；
；此
故喝一瓶啤酒小时血液中的酒精含量达到最大值
由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克百毫升时可以驾车，此时处也可以求出函数在（0,2）上的值域再说明更好。
- 9 -
由
两边取自然对数，得即所以
，得
，
，
；
，
故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车 21．（本题12分）已知动圆P恒过定点（Ⅰ）求动圆P圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两点C、D在轨迹M上，求正方形的面积． 【答案】（1）【详解】
（1）由题意得动圆的圆心到点所以圆心的轨迹是以所以圆心的轨迹方程为（2）由题意设由∵直线∴设则∴又直线∵∴经检验
和与直线
，
，解得都满足
或
或．
，
- 10 -
，且与直线相切．
；（2）或
的距离与它到直线的距离相等，
，
为焦点，以
．
为准线的抛物线，且
边所在直线方程为， ，
消去整理得和抛物线交于两点，
，解得
，
，
.
．
．
间的距离为
，
，
∴正方形边长
∴正方形的面积或．
22．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)证明：
． 【答案】（1）增区间，减区间
；（2）见解析
【详解】 （1）的定义域为，
若，则
，
， 令，则在
上恒成立，
故在
上单调递增，
又， 故当时，；当时，
即的增区间为，减区间为。
（2），
由（1）可知在上必有唯一零点，设为，则，
当时，
，
单调递减， 当时，，单调递增，
∴
，
又∵，∴，另外，∴，
∴，得证.
- 11 -
