19. 解析：
（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x?0， 此时直线l与圆M相切， ∴x?0符合题意：
当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k， 则直线l方程为y?kx，即kx?y?0.
则k?23?1，解得k??，
4k2?1即直线l的方程为x?0或3x?4y?0；
（2）∵直线l与圆M交于P，Q两点，∴直线l的斜率存在， 设直线方程为y?kx，圆心到直线l的距离为d， 由于S△MPQ?11MPMQsin?PMQ?sin?PMQ， 22∴当sin?PMQ取最大值1，即?PMQ?90?时△MPQ的面积最大.
此时△MPQ为等腰直角三角形，d?2， 2∴k?2k2?1?2，解得k??1或k??7. 2故直线l的方程为：x?y?0或7x?y?0. 20. 解析：
（1）由题，椭圆上顶点的坐标为?0,b?， 左右顶点的坐标分别为??a,0?、?a,0?，
∴
b?b?1??????，即a2?4b2，则a?2b， a?a?4222又a?b?c，∴c?3b，
所以椭圆的离心率e?c3?； a2（2）设A?x1,y1?，B?x2,y2?，
?x2y2??1??4b2b2由?得：2x2?2x?1?4b2?0， ?y?1?x?1???21?4b2∴x1?x2??1，x1x2?，
2∴AB??x1?x2???y1?y2?222 ?52?x1?x2??4x1x2?58b2?1， 2又原点O到直线的距离d?1， 5∴
172?AB?d?，解得8b?1?7， 24∴b2?1，则a2?4，
x2?y2?1. ∴椭圆C的方程为421. 解析：
（1）抛物线C：x?2py?p?0?的焦点F?0,2??p??， 2?当AF与y轴垂直时，易得A??p,则抛物线方程为x?4y；
2??p??，即AF?p?2， 2?（2）由题意可得F?0,1?，M?0,?1?，
2?x12???x2Bx,设点A?x1,，??2?， 4?4???设直线AB：y?kx?1，代入抛物线方程x?4y，
2可得x?4kx?4?0，
2∴x1?x2?4k，x1x2??4，
kAM?kBM2x12x2?1?1?x?x??4?xx?1244???12?0，
x1x24x1x2因此可得?AMF??BMF. 22. 解析：
（1）由题可得2a4?4?a3?a5?28?a4，解得a4?8， 所以
8?8?8q?28， q1或2. 2解得q?n?1（2）由于q?1，则q?2，an?2，
设cn??bn?1?bn?an??bn?1?bn?2可得n?1时，c1?1?2?3，
n?1，
n?2时，可得cn?n2?2n??n?1??2?n?1??2n?1，
上式对n?1也成立， 则?bn?1?bn?an?2n?1，
2?1?即有bn?1?bn??2n?1?????2?则当n?2时，
n?1，
bn?b1??b2?b1???b3?b2???????bn?bn?1?
?1??1??1??1?3????5????L??2n?1?????2??2??2?1201n?2，
n?111?1??1??1?bn??3????5????L??2n?1????22?2??2??2?两式相减可得
，
n?2n?1??1??1?217?1???1?bn??2???????L??????2n?1???? 22?2???2????2??2??
1??1??1???2?2?7????2121?2n?2??n?1???2n?1??1?，
?????2?n?2?1?化简可得bn?11??2n?3?????2?（b1也符合）.
