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于是所求椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0），G（x1，y1），H（x2，y2）， 联立
，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．
则
．
根据弦长公式知丨GH丨=
?
=
又根据点到直线的距离公式知原点O到直线y=kx+m的距离为．
于是△OGH的面积为
整理得（1+4k2﹣2m2）2=0，所以1+4k2﹣2m2=0．① 又线段GH的中点
，即
．
．
假设存在满足条件的定点M，N，不妨设M（s，0），N（﹣s，0）（s＞0）， 直线PM，PN的斜率之积为t，
则有=，
解得．
，使得直线PM，PN的斜率之积为定值，
∴存在两定点定值为
．
21．已知函数f（x）=mln．x+nx在点（1．f（1））处的切线与直线x+y﹣2=0平行，且f（1）=﹣2，其中m，n∈R．
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（Ⅰ）求m，n的值，并求出函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）设函数
，对于正实数t，若?x0∈[1，e]，使得f（x0）
+x0+x0≥g（x0）成立，求t的最大值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=﹣1，求出m，n的值，从而求出f（x）的导数，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）问题等价于在区间[1，e]上有解．记的最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导，得
，
e]上有解，在区间[1，可转化为
，根据函数的单调性求出t
若f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y﹣2=0平行， 则f'（1）=m+n=﹣1，又f（1）=n=﹣2，求得m=1．
即m=1，n=﹣2，此时f（x）=lnx﹣2x，定义域为（0，+∞）， 对f（x）求导，得由
，求得
， ， ．
即f（x）的单调递增区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=lnx﹣2x，
?x0∈[1，e]，使得f（x0）+x0≥g（x0）成立， 等价于
在区间[1，e]上有解，
即x2﹣2x+t（lnx﹣x）≥0在区间[1，e]上有解，
因为当x∈[1，e]时，Inx≤1≤x（不同时取等号），所以lnx﹣x＜0， 于是x2﹣2x+t（lnx﹣x）≥0在区间[1，e]上有解， 可转化为记则
在区间[1，e]上有解．
， ，
因为x∈[1，e]，则x+2＞2≥lnx，
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所以h'（x）≥0，即h（x）在[1，e]上单调递增， 所以可知
，
． ，
于是实数t的最大值为
[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ≤2π）． （Ⅰ）当
时，求直线l的普通方程；
?
是定值．
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交A，B两点．求证：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）将
带入计算，消去t可得普通方程．
（Ⅱ）将曲线C化为普通方程，把直线l的参数方程带入曲线C的普通方程，利用韦达定理求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）当时，直线l的参数方程为（t为参数）．
消去参数t，得∴直线l的普通方程为
．
．
（Ⅱ）将直线方程消去参数t，得直线l的普通方程为y=（x﹣1）tanα． 又曲线C为：ρcos2θ+4cosθ=ρ 可化为4cosθ=ρsin2θ， 即ρ2sin2θ=4ρcosθ． 将
代入ρ2sin2θ=4ρcosθ，
得y2=4x，带入y=（x﹣1）tanα． 得tan2α?x2﹣2（tan2α+2）x+tan2α=0，
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则
可知y1y2=﹣4． 从而有
[选修4-5：不等式选讲]
．注意到y1，y2的符号相反，
（定值）．
23．已知函数f（x）=|x﹣a|，若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3．得a﹣3≤x≤a+3．又不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}．所以
，解得a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x﹣2|，设函数g（x）=f（3x）+f（x+3），求出函数g（x）的最小值，m≤g（x）的最小值即可．
【解答】解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3．解得a﹣3≤x≤a+3． 又不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}．所以
，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x﹣2|，设函数g（x）=f（3x）+f（x+3），则
所以函数g（x）的最小值为．
．
由不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，得于是实数m的取值范围为
2017年3月23日
．
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