第一部分 专题1 第1讲
(见专题跟踪检测P89)
题型 1.不等式的性质及解法 2.简单的线性规划问题 3.基本不等式及其应用 4.不等式恒成立问题 基础热身(建议用时：40分钟)
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1．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出<成立的
ab有( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
对应题号 1,2,10 3,6,8,11,14,16 4,7,9,12,13 5,15 b－a11
C 解析 <成立，即<0成立，逐个验证可得①②④满足题意．故选C项．
abab2．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( ) A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
B 解析 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7 3．(2019·北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( ) A．－7 C．5 B．1 D．7 ??y≥－1， C 解析 由题意可得不等式组?作出可行域如图阴影部分所示． ??y－1≤x≤1－y， 设z＝3x＋y，则y＝z－3x，当直线l0：y＝z－3x经过点C(2，－1)时，z取最大值5.故选C项． 4．(2019·陕西西安月考)下列不等式中正确的是( ) 4 A．a＋≥4 aa＋b C．ab≥ 2 B．a2＋b2≥4ab 3 D．x2＋2≥23 x 4 D 解析 若a<0，则a＋≥4不成立，故A项错误；取a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故 aa＋b B项错误；取a＝4，b＝16，则ab<，故C项错误；由基本不等式可知D项正确．故选 2D项． 5．已知当x<0时，2x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为( ) A．[22，＋∞) C．(－22，＋∞) B．(－∞，22] D．(－∞，－22) 2x2＋111 C 解析 由2x2－mx＋1>0得mx<2x2＋1，因为x<0，所以m>＝2x＋.又2x＋＝ xxx1?? －??－2x?＋?－x??≤－2 112 ?－2x?×＝－22，当且仅当－2x＝－，即x＝－时，等 x2?－x? ?? 号成立，所以m>－22.故选C项． x＋2y－3≤0，?? 6．已知变量x，y满足条件?x＋3y－3≥0， ??y－1≤0，处取得最大值，则a的取值范围是( ) 1 －∞，－? A．?2??10，? C．??2? 1 －，0? B．??2?1?D．??2，＋∞? 若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0) D 解析 画出x，y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处1 取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a＜－，所以 2 1 a＞.故选D项． 2 7．(2019·山东潍坊模拟)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝p?p－a??p－b??p－c?求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为( ) A．37 C．47 B．8 D．93 7?7－a??7－b??7－c?＝ 1 A 解析 由题意知三角形周长的一半p＝(a＋b＋c)＝7，则S＝ 2 7－b＋7－c 7?7－b??7－c?≤7·＝37，当且仅当7－b＝7－c，即b＝c时，等号成立，所 2以此三角形面积的最大值为37.故选A项． x≥1，?????? 8．(2019·四川凉山诊断)设Ω＝??x，y???y≥1，? ?2x＋y－4≤0????? ，有下面两个命题p：?(x， y)∈Ω，2(y＋1)≤3(x＋1)；q：?(x，y)∈Ω，x－2y≥－3，则下面命题中真命题是( ) A．p∧q C．p∧(?q) B．(?p)∧q D．?p x≥1， ?? A 解析 由不等式组?y≥1， ??2x＋y－4≤0 和命题p，q表示的不等式画出可行域，如图所示． 根据题意得到满足不等式组的区域均在2(y＋1)≤3(x＋1)，x－2y≥－3所表示的区域内；故命题p和q均为真命题．故p∧q为真命题，(?p)∧q为假命题，p∧(?q)为假命题，?p为假命题．故选A项． 9．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________. 解析 设xy＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，即t2≥22t＋6，即(t－32)(t＋2)≥0，所以t≥32，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时，等号成立，所以 xy的最小值为18. 答案 18 10．已知集合P＝{y|y2－y－2＞0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝！！！____________###. 解析 P＝{y|y2－y－2＞0}＝{y|y>2或y<－1}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则Q＝{x|－1≤x≤3}，所以－1,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得－a＝－1＋3＝2，b＝(－1)×3＝－3，所以a＋b＝－5. 答案 －5 x－y＋1≤0，?? 11．(2020·贵州凯里一中开学考试)设实数x，y满足约束条件?x≥0， ??y≤2，的最小值为________. 解析 不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示， y 则z＝ x＋2 z＝ y 的几何意义是可行域内的点P(x，y)与点M(－2,0)的连线所在直线的斜率，可知x＋2 2－0111 kBM＝＝，kAM＝＝1，结合图形可得≤z≤1，故目标函数的最小值为. 220－?－2?20－?－2? 1 答案 2 12．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(图中阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a：b＝1：2. 1－0 (1)试用x，y表示S；
