第2讲 数列的综合问题
[考情考向分析] 江苏高考中，数列大题常在压轴的代数论证中考数列的综合应用．近几年江苏高考中数列解答题总是同等差、等比数列相关，进一步考查其子数列或派生数列的性质等，所以解题过程中既有等差、等比数列性质的挖掘，又有等差、等比数列的判断论证，综合性极强．
热点一 数列中的探索性问题
?1??1??1?1n∈N*，
例1 (2018·无锡期末)已知数列{an}满足?1－??1－?…?1－?＝，Sn是数列{an}aaa?
1
??
2
??
n?an的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若ap,30，Sq成等差数列，ap,18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；
(3)是否存在k∈N，使得akak＋1＋16为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的
*
值；若不存在，请说明理由．
?1??1??1?1*
解 (1)因为?1－??1－?…?1－?＝，n∈N，
?
a1??
a2??
an?an11
所以当n＝1时，1－＝，a1＝2，
a1a1
1?1?1??1??1?1?1??1??当n≥2时，由?1－??1－?…?1－?＝和?1－??1－?…?1－?＝，
?a1??ana2??an?an?a1??a2??an－1?an－1
1an－1
两式相除可得，1－＝，即an－an－1＝1(n≥2)．
an所以数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列． 所以an＝n＋1(n∈N)．
(2)因为ap,30，Sq成等差数列，ap,18，Sq成等比数列， 所以?
?ap＋Sq＝60，?
??apSq＝18，
2
*
于是?
?ap＝6，???Sq＝54
或?
?ap＝54，???Sq＝6.
??ap＝6，当?
?Sq＝54?
p＋1＝6，??
时，??q＋3?q＝54，??2
??p＝5，
解得?
?q＝9，?
1
??ap＝54，当?
?Sq＝6?
p＋1＝54，??
时，??q＋3?q＝6，??2
2
无正整数解，
所以p＝5，q＝9.
(3)假设存在满足条件的正整数k，使得akak＋1＋16＝am(m∈N)， 则?k＋1??k＋2?＋16＝m＋1，
平方并化简得，(2m＋2)－(2k＋3)＝63， 则(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63，
??2m＋2k＋5＝63，
所以?
??2m－2k－1＝1??2m＋2k＋5＝9，或?
?2m－2k－1＝7，?
2
*
??2m＋2k＋5＝21，
或???2m－2k－1＝3，
解得m＝15，k＝14，或m＝5，k＝3，或m＝3，k＝－1(舍去)， 综上所述，k＝3或14.
思维升华 数列中的探索性问题是江苏高考的一个热点，试题一般是探求数列中项的存在性问题，此类试题的解法一般具有以下特点：假设提出的问题存在，结合数论中不定方程、奇偶性的基本性质进行求解．
跟踪演练1 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝a，且an＋1＝k(an＋an＋2)对任意正整数n都成立，数列{an}的前n项和为Sn.
(1)是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am＋1，am＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由； 1
(2)若k＝－，求Sn.
2
解 (1)设数列{an}是等比数列，则它的公比q＝＝a， 所以am＝am－1
a2a1
，am＋1＝a，am＋2＝amm＋1
.
①若am＋1为等差中项，则2am＋1＝am＋am＋2， 即2a＝amm－1
＋am＋1
，解得a＝1，不合题意；
②若am为等差中项，则2am＝am＋1＋am＋2， 即2am－1
＝a＋a2
mm＋1
，
化简得a＋a－2＝0，
2
解得a＝－2或1(舍)．
am＋1ama2
当a＝－2时，k＝＝m－1m＋1＝2＝－；
am＋am＋2a＋a1＋a5
③若am＋2为等差中项，则2am＋2＝am＋1＋am， 即2am＋1
＝a＋amm－1
，化简得2a－a－1＝0，
2
1
解得a＝－或1(舍)．
2
1am＋1aa2
当a＝－时，k＝＝m－1m＋1＝2＝－. 2am＋am＋2a＋a1＋a52
综上可得满足要求的实数k有且仅有一个，即k＝－. 511
(2)若k＝－，则an＋1＝－(an＋an＋2)，
22于是an＋2＋an＋1＝－(an＋1＋an)，
所以an＋3＋an＋2＝－(an＋2＋an＋1)＝an＋1＋an. 当n是偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝(a1＋a2)＝(a＋1)；
22
当n是奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an ＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝a1＋＝1－mnnn－1
22
(a2＋a3)＝a1＋
n－1
2
[－(a1＋a2)]
n－1
(a＋1)．
当n＝1时也适合上式．
n－1
1－??2?a＋1?，n是奇数，
综上可得S＝?n??2?a＋1?，n是偶数.
n
热点二 数列中的证明问题
例2 (2018·江苏黄桥中学等三校联考)已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，且＝
2
(n∈N*). 4Sn－1
an＋1－ananan＋1
(1)求a2的值；
3
(2)设bn＝
anban＋1－an，证明：数列{bn}是等差数列；
2
(3)设cn＝2n·an，若1≤λ≤2，求对所有的正整数n都有2λ－kλ＋32 ，代入a1＝1 1a24a1－1 得a2＝3. (2)证明 因为an＋1－ana＝2 －1 ， nan＋14Sn所以4S2anan＋1 n－1＝a.① n＋1－an所以4S2an＋1an＋2 n＋1－1＝ aa，② n＋2－n＋1 由②－①，得2an＋1an＋2anan＋1 n＋1＝ aa－. n＋2－an＋1an＋1－an因为aan＋2n＋1≠0，所以2＝a－an. n＋2－an＋1an＋1－an所以1＋an＋1aa－n＝2， n＋2－an＋1an＋1－an即 an＋1a－an＝1， n＋2－an＋1an＋1－an即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是公差为1的等差数列． (3)解 由(2)知，ba1 1＝a＝1，所以数列{b}的通项公式为b1nn＝n－. 2－a122 因为an1an＋122naa＝n－，所以＝＋1＝＋1 ， n＋1－n2an2n－12n－1 所以an＋1an? an?? 2(n＋1)－1＝2n－1 ，所以数列? ?2n－1?是常数列. 由 a1 * 2×1－1 ＝1，所以an＝2n－1(n∈N)． 所以cn＝2bn·an?1n＝22·(2n－1)＝ 22 ·2n·(2n－1). 因为c22[2n＋1n＋1－cn＝ ·(2n＋1)－2n·(2n－1)]＝22 ·2n·(2n＋3)>0， 所以数列{cn}为单调递增数列． 当n≥1时， cn≥c1＝2，即cn的最小值为2. 由2λ2 －kλ＋32＜c2 n，得kλ＞2λ＋22， 所以k>2??2? ? λ＋λ? ?max， 4
