以不必考虑。可以估计到，当温度上升的足够高时，砂粒也会像分子那样作热运动的。
（2）布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能够像地球大气一样分布的条件是它们的大气标高 kT / mg 应该都相同。
〖答〗： 10K。
2. 7. 1 求常温下质量 M1 =3.00 g 的水蒸气与 M2 =3.00 g 的氢气组成的混合理想气体的摩尔定体热容。
〖分析〗： 显然，3.00 g 水蒸气的物质的量是 (1/6)mol，3.00 g 氢气的物质的量是
181.5mol。由于氢气有 5个自由度，水蒸气有 6个自由度，根据能量均分定理，1mol 氢气的内能为 (5/2)RT，1mol水蒸气的内能为 (6/2)RT。M1 =3.00 g 的水蒸气与 M2 =3.00 g 的氢气
组成的混合理想气体的内能为 [(1/6)?(6/2)?1.5?(5/2)]RT。混合理想气体的物质的量为
[(1/6)?1.5]mol，所以 1mol 这种混合理想气体的内能为
Um?51RT/20
dUmCV??21.2J?mol?1?K?1dT气体的定体热容
?11102. 7. 3 一粒小到肉眼恰好可见、质量约为 kg 的灰尘微粒落人一杯冰水中。由于表面
张力而浮在液体表面作二维自由运动，试问它的方均根速率是多大?
〖分析〗：灰尘微粒作二维布朗运动，它应该有如下关系
按照能量均分定理
11122mvx?mvy?mv222 2 11122mvx?mvy?kT222 ?5-1〖答〗： 2.7?10m?s。
第三章
3. 1. 1 一细金属丝将一质量为 m、半径为 R 的均质圆盘沿中心轴铅垂吊住。盘能绕轴自由转动。盘面平行于一水平板，盘与平板间充满黏度为 ? 的液体。初始时盘以角速度 ω0 旋转。圆盘面与大平板间距离为d ，且在圆盘下方任一竖直直线上液体的速度梯度处处相等。试求 t 秒时盘
的旋转角速度。
〖分析〗： 因为圆盘与水平板之间存在相对运动，故存在如下的黏性力，
在不同 r 处的线速度
f??η?u(r)?ω?r 不同，但是圆盘下方任一竖直直线上的速度梯度都处处相
du?Adz
等，所以在 r 处任一竖直直线上液体的速度梯度是ω?r/d。现在以离开中心轴距离 r~r?dr 的小圆环上，中心角为 dθ 的一小块圆盘为研究对象（它的面积时可以近似认为它是底边为 rdθ 高为 dr 的矩形）。计算它受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩。
〖解〗：圆盘受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩分别为
ω?rω?rω?r2?rdθdrdM?r?(?η?rdθdr)??ηrdrdθddd
对上式中的 dθ 从 0~2π 积分，再对 dr 从 0 ~ R 积分。可以得到 df??η2πω?R4M??4d （1）
9
2利用刚体动力学中的转动定律M?Jdω/dt，其中J 为圆盘转动惯量，现在J?mR/2。把（1）式代
入转动定律分离变量后两边积分，最后得到 t 秒时圆盘的旋转角速度为
ηπR2tω?ω0?exp(?)md
? 3. 3. 3 两个长圆筒共轴套在一起，两筒的长度均为 L，内筒和外筒的半径分别为 R 和R2 ，内筒和外筒分别保持在恒定的温度 T 为
?1
1
和T2 ，且T1 > T2 ，已知两筒间空气的导热系数
?，试证明每秒由内筒通过空气传到外筒的热量为
Q?
2πκL(T1?T2)ln(R2/R1)
〖分析〗： 在这里的温度梯度不是常数，即 dT/dr?(T1?T2)/(R1?R2)
否则, 若把内筒和外筒之间的空间分割为一系列厚度相等的圆柱壳层。 按照
dT?2πrL?dtdr
这一计算公式, r 从 R1 逐步变化到 R2, 则在 dt 时间内, 由内筒向外传递的热量将逐步增加。这不符合稳态传热（ 在 dt 时间内, 在每一圆柱面上通过的热量应该是相等的 ）条件。 唯
dQ??κ?一的可能是在内筒和外筒之间的温度梯度不是常数。为此必须取半径为 r~r?dr 的某一圆柱壳层为对象，研究它的传热过程。
〖解〗： 设在dt时间内, 由内筒向外传递的热量为常量 dQ/dt?Q。现在取半径 r~r?dr 的某一圆柱壳层为研究对象。 则
??Q??κ??dT?2πrLdr
2πκL(T1?T2)ln(R2/R1)两边积分，可以得到
3. 3. 6 两根金属棒 A、B尺寸相同，A 的导热系数是 B 的两倍，用它们来导热。设高温处与低温处的温度保持恒定，求将 A、B并联使用和串联使用时热传递能量之比 ( 设棒的侧面是绝
Q??Qdr??dT2πrLκ
热的 )。
〖分析〗：对于一个存在稳定热流的均匀棒可以将傅里叶定律表示为热欧姆定律，也就是说
（其中κ,L,A 分别是金属棒的热导系数、长度和截面积）可以被改写为
dQ?T??κAdtL
UT?RT?IT （1）
其中 UT??T 称为温压差（相当于欧姆定律中的电势差），RT?L/κA 称为热阻（相当于电阻）， IT?dQ/dt 称为热流（相当于电流）。（1）式称为热欧姆定律。我们可以利用它来解决一些类似于串、
并联的传热问题。
〖解〗： 设 A 、B 金属棒的导热系数分别是 κ1,κ2，热阻分别是 RT1,RT2，它们的串联
串并R,RT。考虑到 κ1?2κ2，则 热阻和并联热阻分别为 TLκ?κ23L串RT?RT1?RT2?(1)?Aκ1?κ22Aκ2
（2）
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R并TRT1?RT2L2Aκ1?κ2L???()?RT1?RT2κ1?κ2?A2Lκ1?κ23Aκ2
（3）（2）式被（3）式除，可以得到
串并RT?(9/2)RT
3. 3. 7 半径 a?0.1m的铀球，在原子裂变过程中以体积热产生率 H?5.5?10W?m
-1-1κ?46W?m?K均匀地、恒定不变地散发出热量。已知铀的热导率 ，试问达稳态时，铀球的中心
3-3与外表面间的温度差是多少?
〖分析〗：对于球体内部有恒定不变地均匀散发出热量的传热问题，它达到稳态的条件是：单位时间内，从半径为 r~r?dr 的球壳向外传递的热量，应该等于单位时间内以 r 为半径的球内所产生的总的热量。 假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到；假如后者小于前者，铀球内部温度会降低，稳态仍然未达到。
〖解〗： 现在以半径为 r~r?dr 的球壳为研究对象，设 r 及 r?dr 处的温度分别为
T(r),T(r)?dT。由于球壳内、外表面之间存在温度梯度，有热量从球壳向外传输，球壳通过的热量
dQdTdT?????A?????4πr2dtdzdr
达到稳态时球壳在单位时间内透过的热流应该等于以 r 为半径的铀球在单位时间内产生的热量
（假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到），所以
4dTH?πr3????4πr23dr TaH12Ha2aH?T0dT??03?rdrTa?T0??3??2(a?0)??6???0.20K
3. 5. 1 热容为 C 的物体处于温度为 T0 的媒质中，若以 P0 的功率加热，它所能达到的最高温度为 T1 。设系统的漏热遵从牛顿冷却定律，试问加热电路切断后，物体温度从 T1 降为 (T1?T0)/2 时所需的时间是多少?
〖分析〗： 牛顿冷却定律可以表示为
dQ/dt??a(T?T0)
其中 T0 为环境温度。若以 P0 的功率加热，它所能达到的最高温度为 T1 , 这说明 P0 的功率加热恰好被 T1 温度时物体向环境的漏热相平衡,因而温度不再上升，由此可以定出 a。
〖解〗： 从上面的分析可以得到如下关系：
dQ/dt??a(T?T0) ， P0?a(T1?T0)
另外又有 dQ?CdT
将上述3个公式联立后积分，
?t0dt???(T?T0)/21T1C(T1?T0)dT?P0T?T0
t?Cln2?最后得到
T1?T0P0
3. 6. 5 试估计宇宙射线中质子抵达海平面附近与空气分子碰撞时的平均自由程。设质子直径为
10 –15 m ，宇宙射线速度很大。
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2〖分析〗：这个问题的情况和上一题十分类似，碰撞截面可以利用 σ?πd/4公式，平均自由程可
以利用
?192??1/nσ 公式。这里的 d 就是空气分子的有效直径，简单地认为 σ?10m。而 n
25-3n?10m是空气的分子数密度，简单认为 。
?6〖答〗： 10m。
3. 6. 6 从反应堆 ( 温度T?4000K) 中逸出一个氢分子 ( 有效直径为2.2?10?10m)
?103.6?10m，氩气温度为300 K ) 的以方均根速率进入一个盛有冷氩气 ( 氩原子的有效直径为
25-34.0?10m容器，氩原子的数密度为 。试问：(1) 若把氢分子与氩原子均看作刚性球，它们相碰
时质心间最短距离是多少? （2） 氢分子在单位时间内受到的碰撞次数是多少?
〖分析〗： （1）分子之间相碰时质心间最短距离就是分子碰撞有效直径，对于刚性分子，它就是两个相碰分子的半径之和。（2）在计算分子之间碰撞的平均频率时要用到相对运动平均速率 v12。对于温度相同的同种分子 v12?2v，但是对于异种分子，特别是平均速率不相同的分子之间的碰撞，
v12?2v，我们可以这样利用近似方法得到它。把‘1’ 分子相对于‘2 ’ 分子的相对运动速度矢量
写为
其相对运动速率的平方
22v12?(v12)2?(v1?v2)2?v12?2v1?v2?v2 （1）
v12?v1?v2
取平均值
222v12?v12?2v1?v2?v2?v12?2v1?v2?v2 （2）
上式最右边第二项表示一个分子的速度在另一个分子速度方向上的投影的平均值的2倍，而
v1?v2?v1v2cos??v1v2?cos? （3）
222v12?v12?v2?v12?v2
因为（3）式中的余弦函数是偶函数，它的平均值为零，所以（1）式可以表示为
又有如下近似条件可以利用
v212??v?1222222v?(v)v?(v)12，1，2
所以
利用这一公式可以计算相对运动平均速率。 效直径
dH-A?1.1?10v12?(v1)2?(v2)2（4）
〖解〗：（1）对于刚性分子，氢分子与氩原子相碰时质心间最短距离也就是氢分子与氩原子碰撞的有
?10m?1.8?10?10m?2.9?10?10m （5）
（2）从反应堆中逸出的一个氢分在单位时间内受到的氩原子平均碰撞总次数为
ZH-A?nAσH-AvH-A （6） 在上面的式子中，所有下标H表示是氢分子的物理量，所有下标A表示氩原子的各物理量，下标H-H表示氢分子相对于氢原子的各物理量，下标H-A表示氢分子相对于氩原子的各物理量。显然，
2σH-A?πdH-A/4
（7）
因为已知氢分子是以方均根速率从反应堆逸出，所以
vH?3kTHπmH （8）
利用（4）式可以得到分子束中的氢分子相对于氩原子的平均速率为
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