〖解〗： 我们知道, 通常的麦克斯韦速度分布是 3 维的
f(vx)dvx?f(vy)dvy?f(vz)dvz （1）
其中速度在x,y,z的3个分量上的分布函数都具有如下形式：
f(vi)dvi?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvi2/2kT)dvi
(i?x,y,z) （2）
显然，只能在XY平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是
2f(vx)dvx?f(vy)dvy?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)dvx
2?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvy/2kT)dvy （3）
这就是 2 维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。（3）式也可以写为
f(vx)?f(vy)?dvxdvy?f(vx,vy)dvxdvy其中
dvxdvyv~vy?dvy 实际上就是在2维速度空间中位置在 vx~vx?dvx，y 范围内的正方形
f(vx,vy)dvxdvy?f(vx)dvx?f(vy)dvy
。显然它被除以微分元的面积 ，所以
（4）
这一微分元的面积，而
是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。设在 2 维速度空间中位置在 vx~vx?dvx，
vy~vy?dvydvxdvy 范围内的这一微分元上的分子代表点数为
dNvx,vy，就是在 2维速度空间中的分子代表点的数密度
D(vx,vy)D(vx,vy)?dNvx,vy/dvxdvy?Nf(vx,vy) 22?N(m/2π?kT)1/2?exp[?m(vx?vy)/2kT]
（5）下面我们从速度分布导出速率分布。我们知道2 维理想气体的麦克斯韦速率分布表示了分子处在 2 维速度空间中, 半径为 v~v?dv 的圆环内的概率 dNv/N。dNv 是在半径为 v~v?dv 的圆环内的分子代表点数。它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度
D(vx,vy)。利用（5）式可以得到
dNv?D(vx,vy)?2π?vdv
?N?(m/2π?kT)?exp(?mv2/2kT)?2πvdv
?N?(m/kT)?exp(?mv2/2kT)vdv
所以分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内的概率 f (v) d v 的表达式为
dNv?f(v)dv?(m/kT)?exp(?mv2/2kT)vdvN （7）
它就是2 维理想气体的麦克斯韦速率分布。
v,v,v2. 4. 2 分子质量为 m 的气体在温度 T 下处于平衡。若以 xyz及 v 分别表示
分子速度的 x、y、z 三个分量及其速率，试求下述平均值：
2222vv(v?bv)vvvvxyxy（1）x；（2）x；（3）x；（4）；（5）。
〖分析〗： 在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质, 即互相排斥事件概率相加法则和相互统
计独立的事件概率相乘法则。 另外, 因为麦克斯韦速度分布函数是个偶函数, 所以在积分时要区分被积函数是偶函数还是奇函数。对于偶函数，因为积分范围 ??~?? 是对称区间, 所以应该分区间积分。
〖解〗： （1）麦克斯韦的速度的 x、y、z 三个分量分布可以表示为.
f(vi)?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvi2/2kT) (i?x,y,z)
?2??(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)vxdvx??
??
0??2(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx
5
??2vx??????02(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx?0
2vxf(vx)dvx?2?
?022(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx?kT/m（3）由于vx 和 v2 相互独立, 利用概率相乘法则, 并且考虑到 vx 的平均值等于零, 则有 （4）同样 vx, vy 相互独立, 和“（3）”类似 （5）利用概率相加法则
vxv2?vx?v2?0
22vxvy?vx?vy?0
2222(vx?bvy)?vx?2bvxvy?b2vy?vx?2bvx?vy?b2vy
22?kT/m?0?bkT/m?(kT/m)(1?b)
430?10Pa的氩气，氩的摩尔质量为2. 5. 1 一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为
20.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10-3 ㎝2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间
容器里的原子数减少为原有原子数的 1/e？
〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 ? 来解。应该注意, 容器内的分子数
(或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 ? 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 t 到 t?dt 时间内, 容器内的分子数由于泻流从
N变化为 N?dN, 其中 dN 就是在 dt 时间内泻流流出去的分子数, 列出dN 和 dt 之
间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。
〖解〗： 在 dt 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为
其中 n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 V, 并且在 0到 t 之间进行积分
-dN?nvAdt/4
?t0?(v?A/4V)dt??n2n1(1/n)dn
现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即
?(v?A/4V)t?ln(n2/n1)
n2?n1/e,ln(n2/n1)??1
π?MmV2π?Mm4V4V????A8RTARTA?v?100s
即：经过100 s容器内原子数减为原来的 1/e。.
t?2. 5. 2 一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为 p1,p2。 两部分气体的温度均为 T，摩尔质量均为 Mm。试证明：如果隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为
dm?dt〖分析〗： 容器被隔板分成两部分以后, 隔板左右两边的气体都可以通过小孔从一边流向另一边, 和上一题一样利用气体分子碰壁数来解。
〖解〗： 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为 现在分别用下标 1，2 分别表示隔板左、右气体的各个物理量。在 dt时间内通过单位面积小孔, 隔板左边净增加的分子数为
6
Mm(p1?p2)A2πRT
??p/2π?mkT
???p1?p2?(1/2π?mkT)在 dt 内通过小孔的气体质量为
2. 5. 3 处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温泵”，它是提高真空度的一种简便方法。考虑一半径为 0.1m的球形容器，器壁上有一面积为 1cm的区域被冷却到液氮温度 ( 77 K )，其余部分及整个容器均保持 300 K。初始时刻容器中的水蒸气压强为 1.33Pa，设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面，试问要使容器的压强减小为
2?m?m????A??t
Mmdmm??p1?p2?A?p1?p2?Adt2π?kT2π?RT
1.33?10?4Pa，需多少时间 ?
〖解〗： 设 t 时刻分子数密度为 n(t)，则 dt 时间内碰在 ?A 面积上的分子数为
dn(t)??利用 p = nkT 公式, 它可以化为
n(t)v?Adt4V
经过积分, 可以得到
dp(t)dn(t)v????Adtp(t)dt4V
p(t)?p0exp(?v?ART?A?t)?p0exp(??t)4VV2π?M1.33?10?4Pap(t)?ART?exp(??t)?p0V2πM1.33Pat?4Vln10?A2πM?2.60sRT
2. 5. 5 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 已经知道月球的半径为地球半
径的0.27倍, 月球的重力加速度为地球的0.165倍。
〖分析〗： 在离地球中心距离为 R的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率 vmin （ 它称为逃逸速率 ）, 这些分子向上运动时, 只要不和其它分子碰撞, 就可以逃逸出大气层。其逃逸速率满足
GMEm/R?mvmin,E/2
在忽略重力加速度随高度的变化的情况下, 可以用地球表面的数据替代, 则
2vmin,E?2GME/RE?2REgEvmin,M
（1）
其中 gE 是地球重力加速度，ME 是地球质量, RE 是地球半径。 同样，在月球表面上也有逃逸速率
。和（1）式类似, 有如下表达式
vmin,M?2GMM/RM?2RMgM其中下标M 表示月球的各物理量。
（2）
〖答〗： 氢分子和氧分子的 vrms 分别等于地球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气的温度分别为
TH,E?1.0?104K, TO,E?1.6?105K.
氢分子和氧分子的 vrms 分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气温度分别为
7
TH,M?4.6?102K ， TO,M?7.4?103K
2．6．1 试证若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。
〖分析〗： 在离地高为 z~z?dz 的范围内的球壳体积为
dV(z)?4π(RE?z)2dz （1）
[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]
当然, 我们也可以如下更清楚地求出：
dV(z)??4π[(z?dz?RE)3?(z?RE)3]3忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有
4π[3(z?RE)2?dz?3(z?RE)?dz2?dz3]3
dV(z)?4π(z?RE)2dz
〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积dV( z ) 范围内的分
子数
dN(z)?dV(z)?n(z)?4π(z?RE)2dz?n(0)?exp(?Mmgz/RT)
N?n(0)?数为N，则：
?04π(z2?2zRE?RE)?exp(?Mmgz/RT)dz2
令 RT/Mmg?H 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为n(0)，所有大气的总分子
N?4πn(0)[?2E??0z2exp(?z/H)dz?2RE??0zexp(?z/H)dzkT2kTkT212z?n(0)?4πR?[1??2()?2]E?R?exp(?)]dzmgmg?RmgRE （2） 0EH现在来估计 kT/mgRE 的数量级。设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且RE?6.4?106km,m?29?1.67?10?27kg
kT1.38?10?23?273??0.00124??1?276mgRE29?1.67?10?9.8?6.4?10 （3）
利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。 这时
其中 H 为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。
910kg 的砂粒能像地球大气一样分布的等温大气温度的数量级。 2. 6. 2 试估计质量为
2N?n(0)4πRE(kT2)?n(0)?4πRE?Hmg
〖分析〗：（1）我们知道，布朗粒子和分子之间没有本质区别，仅不过布朗粒子的质量比一般的分子
大几个数量级。从能量均分定理可以知道，
若布朗粒子和分子分别处于相同温度的系统中，则布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好几个数量级。同样，砂粒和布朗粒子之间也没有本质区别，也仅不过砂粒的质量比一般的布朗粒子大十几个数量级， 相应地其均方速率要小十几个数量级。当砂粒的均方速率小到如此情况，它在1秒内的均方位移也要比砂粒本身的大小还要小数个数量级时，其宏观位移根本测量不出, 则砂粒的布朗运动（或者说无规运动）可
8
2222mv/2?mv/2?mv/2?kT/2?mv/6 xyx
