高考考前数学120个提醒
一、集合与逻辑
1、（Ⅰ）区分集合中元素的形式：如：?x|y?lgx?—函数的定义域；?y|y?lgx?—函数的值域；
?(x,y)|y?lgx?—函数图象上的点集，如（1）设集合M?{x|y?x?3}，集合N＝
?y|y?x2则M?1,x?M?，
（答：；（2）设集合M?{a|a?(1,2)??(3,4),??R}，[1,??)）N?___
N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}，则M?N?_____（答：{(?2,?2)}）（Ⅱ）（1）
M?ay?lg(ax2?x?a)的定义域为R，求M；（2）N?ay?lg(ax2?x?a)的值域为R。
解：（1）ax?x?a?0在x?R恒成立，①当a?0时，?x?0在x?R不恒成立；②当a?0时，
2????a?0??a?01??1?211?,???ax?x?a能取遍所有的正实数。则?；（2）a???M???2a??或a?2?2??1?4a?0?22???a?01?1a?01?1??0,?。?①当a?0时，?x?R；②当a?0时，则?。 0?a?N?????a?2?22???1?4a?0?2?222、条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况。如：A?{x|ax?2x?1?0}，如果A?R??，
?求a的取值。（答：a≤0）
3、（1）A?B?{x|x?A且x?B}；A?B?{x|x?A或x?B} CUA={x|x∈U但x?A}；A?B?若x?A则
x?B；真子集怎定义？含n个元素的集合的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2；如满足{1,2}?（答：7）（2）从集合A??a1,a2,a3,???,an?到?M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。
n集合B??b1,b2,b3,???,bm?的映射有m个。（3）CU(A∩B)=CUA∪CUB；CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=?（4）
A∩B=A?A∪B=B?A?B?CUB?CUA?A∩CUB=??CUA∪B=U（5）补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数f(x)?4x?2(p?2)x?2p?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数
223c，使f(c)?0，求实数p的取值范围。 （答：(?3,)）
24、充要条件与命题：（1）充要条件：①充分条件：若p?q，则p是q充分条件。②必要条件：若q?p，则p是q必要条件。③充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件。注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。（2）四种命题：①原命题：p?q；②逆命题：q?p；③否命题：④逆否命题：互为逆否的两个命题是等价的。 如：“sin??sin?”是“???”?p??q；?q??p；
的 条件。（答：充分非必要条件）（3）若p?q且q?p；则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）；（4）注意命题p?q的否定与它的否命题的区别：① 命题p?q的否定是p??q；②否命题是?p??q；③命题“p或q”的否定是“┐P且┐Q”；④“p且q”的否定是“┐P或┐Q”。（5）注意：如 “若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数，则a?b是奇数”；否定是“若a和b都是偶数，则a?b是奇数”。
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二、函数与导数 5、指数式、对数式：（1）amn?a，anm?mn?0，（以上a?0,m,n?N，且n?1）。a?1，loga1?0，?1manlogaa?1，lg2?lg5?1，logex?lnx，（2）ab?N?logaN?b（a?0，a?1，N?0）；
（3）loga?MN??logaM?logaN；（4）loganM?logaM?logaN； NlogaNna?N；（7）对数的换底公式:logaN?logmN。如（5）logamb?logab；（6）对数恒等式:
logmam1log()228的值为___(答：
1) 646、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数；
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7、二次函数：①三种形式：一般式f(x)=ax+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?)；顶点式f(x)=a(x-h)+k，h，k=？；零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a?0）(轴?)；b=0偶函数；②区间最值：配方后一看开口方向,
y?二讨论对称轴与区间的相对位置关系； 如：若函数
12x?2x?42的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，
则b＝ （答：2）③实根分布：先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号； 8、反比例函数：y?9、对勾函数y?x?cc(x?0)平移?y?a?(中心为(b,a))
x?bxa是奇函数,a?0时,在区间(??，0),(0，??)上为增函数 xa?0时,在(0，a],[?a,0)递减 ，在(??，?a],[a,??)递增
10、单调性：（Ⅰ）定义法：设x1、x2??a,b?，x1?x2，那么
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数。
x1?x2（Ⅱ）导数法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，
如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数。
如：已知函数f(x)?x?ax在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(??,3])； 注意：（１） f?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)?x在(??,??)上单调递增，但f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。（2）函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若
3312?m?）（3）复合函数由同增异减判定；232（4）图像判定；（5）作用：比大小，解证不等式。 如函数y?log1??x?2x?的单调递增区间是f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。（答：?2 2
________(答：（1,2）)。
11、奇偶性：(1)定义：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|)；f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)；定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0)；定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。(2)奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．（3）
nn?1多项式函数P(x)?anx?an?1x??a0的奇偶性：P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系
数全为零；P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零。
12、周期性：（Ⅰ）类比“三角函数图像”得：（1）若y?f(x)图像有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为T?2|a?b|；（2）若y?f(x)图像有两个对称中心
A(a,0),B(b,0)(a?b)，则y?f(x)是周期函数，且一周期为T?2|a?b|；（3）如果函数y?f(x)的
图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x?b(a?b)，则函数y?f(x)必是周期函数，且一周期为
T?4|a?b|；如：已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)?0在[?2,2]上至
少有__________个实数根（答：5）。（Ⅱ）由周期函数的定义“函数f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：（1）函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数；（2）若f(x?a)?11（a?0，f(x)?0）恒成立，则T?2a；（3）若f(x?a)??f(x)f(x)（a?0，f(x)?0）恒成立，则T?2a。（4）则T?2a。（5）f(x)?1?1?2f(x)?f2(x)=f(x?a)（f(x)??0,1?）恒成立，
1（f(x)?0）恒成立，则T?3a。（6）f(x?a)?f(x)?f(x?a)，
f(x?a)f(x1)?f(x2)，且f(a)?1（f(x1)?f(x2)?1，0?x1?x2?2a），
1?f(x1)?f(x2)则T?6a。（7）f(x1?x2)=
则T?4a。如：①设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于_____(答：?0.5)；②定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，若?,?是锐角三角形的两个内角，则f(sin?),f(cos?)的大小关系为_________(答：
f(sin?)?f(cos?))；
13、常见的图象变换：（1）函数y?f?x?a?的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左(a?0)或向右
(a?0)平移a个单位得到的。如：①要得到y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgx关于__轴对称的图像，
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再向__平移3个单位而得到(答：右)；②函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有__个(答：y；2)。（2）函数y?f?x?+a的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上(a?0)或向下(a?0)平移a个单位得到的；如：将函数y?b?a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与x?a原图象关于直线y?x对称，那么 (A)a??1,b?0 (B)a??1,b?R (C)a?1,b?0
(D)a?0,b?R(答：C) （3）函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来
的
11得到的。如：①将函数y?f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图
3a像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为___(答：f(3x?6))；②如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是___(答：x??把函数y?f?x?的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的。
14、对称：（Ⅰ）点、曲线的对称性：(1)点(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)；函数y?f?x?关于y轴的对称曲线方程为y?f??x?；(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；函数y?f?x?关于x轴的对称曲线方程为y??f?x?；(3)点(x,y)关于原点的对称点为(?x,?y)；函数y?f?x?关于原点的对称曲线方程为y??f??x?；(4)点(x,y)关于直线y??x?a的对称点(?(y?a),?x?a)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x?a的对称曲线的方程为f(?(y?a),?x?a)?0。特别地，点(x,y)关于直线y?x的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)?0关于直线y?x的对称曲线的方程f(y,x)?0；点(x,y)关于直线y??x的对称点为(?y,?x)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x的对称曲线的方程为f(?y,?x)?0。如己知函数
1)．（4）函数y?af?x?(a?0)的图象是2x?33,(x?)，若y?f(x?1)的图像是C1,它关于直线y?x对称图像是C2,C2关于原点对称2x?32x?2的图像为C3,则C3对应的函数解析式是__（答：y??）；(5)曲线f(x,y)?0关于点(a,b)的对
2x?1f(x)?2b?y)? 称曲线的方f(2a?x，0。如若函数y?x2?x与y?g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝___（答：?x2?7x?6）
(6)形如y?ax?b(c?0,ad?bc)的图像是双曲线，对称中心是点(?d,a)。如已知函数图象C?与
cx?dccC:y(x?a?1)?ax?a2?1关于直线y?x对称，且图象C?关于点（2，－3）对称，则a的值为___（答：
2）(7)|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然
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