311?E?2?500??(?300)??0??2005315元）. ?????????4分
又
（万
72D?1?(300?200)2??(?150?200)2??35000， ???????
99??5分
311D?2?(500?200)2??(?300?200)2??(0?200)2??140000，????
5315?????6分
所以E?1?E?2，D?1?D?2，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综
上
所
述
，
建
议
该
投
资
公
司
选
择
项
目
一
投
资． ?????????8分
（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意：1000(1?n1.2?2，???10分
200n)?2000，即1000两边取对数得：n?所以大约
4
lg20.3010??3.8053．
2lg2?lg3?12?0.3010?0.4771?1年后，即在
2013
年底总资产可以翻一
番． ?????????13分
答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．???????14分
说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知
识解决实际问题的能力． 20．（本小题满分14分）
B分别是直线y?已知A、P是AB的中点．
33x和y??x上的两个动点，线段AB的长为23， 33（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值． 解：（1）设P(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)．
PAB∵是线段
??????????????????的中点，
2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第13页 共19页
x1?x2?x?,??2∴? ??????????2分 ?y?y1?y2.??2
33x和y??x上的点， 3333∴y1?x2． x1和y2??33?x1?x2?23y,?∴?23 ?????
x.?y1?y2?3?∵A、B分别是直线y??????4分
又
????AB?23，
∴(x1?x2)2?(y1?y2)2?12． ??????????5分
∴12y?∴
242x?12， 3P动点
的轨迹
C的方程为
x2?y2?1． ??????????6分 9（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为
y?k(x?1)． ?????????7分
设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5)，
?y?k(x?1),?则M、N两点坐标满足方程组?x2 2?y?1.??9y消去并整
理，得
(?k21∴
x2?9， x 9分 k ) ?1???????????k8?9，
①
918k2x3?x4?1?9k29k2?9x3x4?． ② ??????????10分
1?9k2∵RM??MQ，∴(x3,y3)?(0,y5)???(1,0)?(x3,y3)?． 即??x3??(1?x3),∴x3??(1?x3)．∵l与x轴不垂直，∴x3?1，
y?y???y.53?32010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第14页 共19页
∴
??x31?x3，同理
??x4． ??????????12分 1?x4(x?x)?2x3x4x3x∴????． ?4?341?x31?x41?(x3?x4)?x3x4将
①②
代
入
上
式
可
得
9?????． ??????????14分
4说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力．
21．（本小题满分14分）
在单调递增数列{an}中，a1?1，a2?2，且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，
a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，n?1,2,3,?．
aaaa（1）分别计算3,5和4,6的值；
a1a3a2a4（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
4n1（3）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn?，n?N*．
n?2an解：解：（1）由已知，得
a3?3，a5?6，a4?92，
a6?8 . ??????????2分
（2）（证法1）a1?21?262?3123?4??，a3??，a5?，……； 222222223242a2?，a4?，a6?，…….
222∴
猜
想
a2n?1n(n?1)?2,
a2n(n?1)2?2，
n?N*， ??????????4分
以下用数学归纳法证明之． ①当n?1时，a2?1?1?a1?1，a2?122??2，猜想成立； 22010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第15页 共19页
②假设n?k(k?1,k?N*)时，猜想成立，即a2k?1那么
k(k?1)(k?1)2?,a2k?，
22(k?1)2k(k?1)(k?1)?(k?1)?1?, a2(k?1)?1?a2k?1?2a2k?a2k?1?2???2222?(k?1)(k?2)?222(k?1)?1a2??(k?2)2. a2(k?1)?a2k?2?k?1???2a2k22(k?1)2∴n?k?1时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，猜想成立． ???????6分
n?1?n?1??1??2?2??(n?1)(n?3)∴当n为奇数时，an?；
282?n???1?(n?2)22???当n为偶数时，an?．
28即数列的通项{an}公式为
?(n?1)(n?3),n为奇数??8． ????????9分 an??2?(n?2),n为偶数??87?(?1)n121（注：通项公式也可以写成an?n?n?）
8216a（证法2）令bn?2n?1，n?N*，则
a2n?1bn?12a22?k?1?a2k?1a2a?a2k?1a2k2a?2k?3?2k?2??2k?1?1 a2k?1a2k?1a2k?1a2ka4?2k?12a2k?1a2k?14bn??1??1??1． a2k?1?a2k?1a2k?11?bn1?2a2k?12010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第16页 共19页
