可在Dg上定义f与g的商运算如下；L(x)?f(x),x?Dg. g(x)注：１）若D?D1UD2??，则f与g不能进行四则运算.
２）为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写为：
f?g,f?g,fg,f. g四、复合运算
１．引言
在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.
例：质量为m的物体自由下落，速度为v，则功率E为
E?12?mv?1?E?mg2t2. 2?2v?gt??12抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数f(v)?mv2,v?gt，把
v(t)代入f，即得
f(v(t))?1mg2t2. 2这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.
[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；
y?f(u)?arcsinu,u?D?[?1,1],u?g(x)?2?x2,x?E?R.
就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.
2．定义（复合函数） 设有两个函数y?f(u),u?D,u?g(x),x?E，
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Eg??xf(x)?D?IE，若Eg??，则对每一个x?Eg，通过g对应D内唯
一一个值u，而u又通过f对应唯一一个值y，这就确定了一个定义在
Eg上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作y?f(g(x)),x?Eg或
y?(fog)(x),x?Eg.简记为fog.称为函数f和g的复合函数，并称f为
外函数，g为内函数，u为中间变量.
3. 例子
例 y?f(u)?u, u?g(x)?1?x2. 求 ?f?g?(x)?f?g(x).?并求定义域. 例
⑴
f(1?x)?x2?x?1, f(x)?_______________. 1?12 ⑵ f??x???x?2. 则
?x?xf(x)? ( )
A. x2, B. x2?1, C. x2?2, D.
x2?2.
例 讨论函数y?f(u)?u,u?[0,??)与函数u?g(x)?1?x2,x?R能否进行复合，求复合函数.
4 说明
１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如：y?sinu,u?v,v?1?x2，复合成：
y?sin1?x2,x?[?1,1].
２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函
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数，在分解时也要注意定义域的变化.
①
y?loga1?x2,x?(0,1)?y?logau,u?z,z?1?x2.
②y?arcsinx2?1?y?arcsinu,u?v,v?x2?1. ③y?2sinx?y?2u,u?v2,v?sinx.
五、反函数
１.引言
在函数y?f(x)中把x叫做自变量，y叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：
f(u)?u,u?t2?1, 那么u对于f2来讲是自变量，但对t来讲，u是因变
量.
习惯上说函数y?f(x)中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念. ２.反函数概念
定义设f:X?R是一函数，如果?x1，x2?X, 由
x1?x2?f(x1)?f(x2)
(或由f(x1)?f(x2)?x1?x2)，则称f在X上是 1-1 的. 若f:X?Y，Y?f(X)，称f为满的.
若 f:X?Y是满的 1-1 的，则称f为1-1对应. f:X?R是1-1 的意味着y?f(x)对固定y至多有一个解x，f:X?Y是1-1 的意味着对y?Y，y?f(x)有且仅有一个解x.
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定义 设f:X?Y是1-1对应.?y?Y, 由y?f(x)唯一确定一个x?X, 由这种对应法则所确定的函数称为
y?f(x)的反函数，记为x?f?1(y).
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域
f:X?Y f?1:Y?X
显然有
ff?1?f?I:X?X (恒等变换）
?1?f?I:Y?Y (恒等变换)
(f?1)?1?f:X?Y.
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 y?f?1(x), 这样它的图
形与 y?f(x)的图形是关于对角线y?x对称的. y 严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数. 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子
?x,f(x)???3?x,
0?x?11?x?2
x 0 它的反函数即为它自己.
实际求反函数问题可分为二步进行：
1. 确定 f:X?Y的定义域X和值域Y，考虑 1-1对应条件.固
?1x?f(y). y?Yf(x)?y定 ，解方程 得出
?1y?f(x). yx 2. 按习惯，自变量、因变量互换，得
x?x 例 求 y?sh(x)?e?e ：R ? R的反函数.
2x?xe?e 解 固定y，为解 y?，令 ex?z，方程变为 2 2zy?z2?1
z2?2zy?1?0
z?y?y2?1 ( 舍去y?y2?1)
得x?ln(y?y2?1)，即y?ln(x?x2?1)?sh?1(x)，称为反双曲正弦. 定理 给定函数y?f(x)，其定义域和值域分别记为X和Y， 若在Y上存在函数g(y)，使得 g(f(x))?x, 则有g(y)?f?1(y).
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