证明1：倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。 设倒易矢量为： r?? r?? r?? r rhkl?? ha?? kb?? lc???r O C?? c / l 晶面（hkl）与三个坐标轴的截距为：
于是： r?rrrrrrr hkl ? A B?? ( h a?? k b?? l c )?? ( b / k?? a / h ) r r r r r O B?? b / k O A?? a / h r r r A B?? b / k?? a / h rrrrrrr从倒易矢量的定义 a?? b?? a?? c?? b?? a?? b?? c?? c?? a?? c?? b?? 0
r * r r * r r r a?? a?? b?? b?? c *?? c?? 1 c 因此 r * r rhkl?? AB?? 1??1?? 0 r?? r ? r hkl ?? A B r r r hkl??? A C r r???r hkl?? B C C b a同理可证： B A r * ??rhkl?? ( hkl ) O
证明2：倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。
OM垂直于晶面，交点为M，于是有： c r n 为OM方向上的单位矢量
r a r d hkl ? OA?? n???? n h OM?? d hkl r C O b a B M r n A 因为倒易矢量垂直于ABC面，即倒易矢量在OM方向上， 这样可以通过有倒易矢量给出单位矢量。 ??? r r?? r??? hkl n?? rhkl / r )?? r???rhklr?? r?? r???r r ha?? kb?? lc ? OA?? n?? a / h?? ( d hkl rrhkl 1 r* ??rhkl?? 1 d hkl
3、倒易矢量应用 计算晶面间距 计算晶面夹角 a?????1 a ， b????? 1 ??b ， c??? 1 c
· ·
计算晶面间距 已知r* = ha* + kb* + l c*，则 :
r *?? 1
d hkl dr r * 2 ? 1 2 hkl ? (ha *?? kb*?? lc * )?? (ha *?? kb*?? lc * ) * 2 ? h 2 (a * ) 2?? k 2 (b* ) 2?? l 2 (c* ) 2?? 2klb*c* cos? *
? 2lhc *a * cos?? *?? 2hka *b* cos?? * 立方晶系 1 d HKL 2 h 2?? k 2?? l 2 ??a 2
