学年第二学期期末考试试卷
一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数f(x,y)在P(x0,y0)的两个偏导fx(x0,y0)，fy(x0,y0) 都存在，则 ( )
A．f(x,y)在P连续 B．f(x,y)在P可微
f(x,y)存在 C． limf(x,y0)及 limf(x0,y)都存在 D．limx?x0y?y0(x,y)?(x0,y0)2．若z?ylnx，则dz等于（ ）．
ylnxlnyylnxlnyylnxlny B. A.?xxyylnxlnyylnxlnyylnxlnxlnxC.ylnydx?dy D.dx?dy
xxy3．设?是圆柱面x2?y2?2x及平面z?0,z?1所围成的区域，则
． ???f(x,y,z)dxdydz?( ）
?10A.??2C.???2d??20?d??2cos?0dr?10f(rcos?,rsin?,z)dz B.10??20d??2cos?02cosxrdr?f(rcos?,rsin?,z)dz rdr?f(rcos?,rsin?,z)dz
012cos?0rdr?f(rcos?,rsin?,z)dz D.?d??0n?0
4． 4．若
?a(x?1)nn?1?在x??1处收敛，则此级数在x?2处（ ）．
A． 条件收敛 B． 绝对收敛 C． 发散 D． 敛散性不能确定
?x?y?z?25．曲线?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. 22z?x?y? A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1．设x?2y?2xyz?0，则zx'(1,1)? . 2．交 换I??e1dx?lnx0f(x,y)dy的积分次序后，I?_____________________．
3．设u?2xy?z2，则u在点M(2,?1,1)处的梯度为 .
xn?x4. 已知e??，则xe? . n?0n!5. 函数z?x3?y3?3x2?3y2的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）
y?z?z1.（本小题满分6分）设z?yarctan, 求,.
x?x?y2222.（本小题满分6分）求椭球面2x?3y?z?9的平行于平面2x?3y?2z?1?0的切平面方程，并求切点处的
x?法线方程.
?1?3?j方向的方向导数。 3. （本小题满分7分）求函数z?x?y在点(1,2)处沿向量l?i?2214. （本小题满分7分）将f(x)?展开成x?3的幂级数，并求收敛域。
x2225．（本小题满分7分）求由方程2x?2y?z?8yz?z?8?0所确定的隐函数z?z(x,y)的极值。
22
6．（本小题满分7分）计算二重积分
??(xD2?y2)d?,D由曲线x??1?y2,y??1,y?1及x??2围成.
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7.（本小题满分7分）利用格林公式计算8.（本小题满分7分）计算卦限内的区域.
?Lxy2dy?x2ydx，其中L是圆周x2?y2?a2（按逆时针方向）.
2xydxdydz，其中?是由柱面x?????y2?1及平面z?1,x?0,y?0所围成且在第一
四、综合题（共16分，每小题8分）
1．（本小题满分8分）设级数
?u,?vnn?1n?1??n都收敛，证明级数
2?(un?1?n?vn)2收敛。
?f?2x， ?x2．（本小题满分8分）设函数f(x,y)在R内具有一阶连续偏导数，且证明曲线积分
? L2xydx?f(x,y)dy与路径无关．若对任意的t恒有
(1,t) (0,0)? (t,1) (0,0)2xydx?f(x,y)dy??2xydx?f(x,y)dy，求f(x,y)的表达式．
参考答案
一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I??dy?01eey(?1)nxn?1 5. (2,2) f(x,y)dx 3. ?2i?4j?2k 4 ?n!n?0????三、解答题（共54分，每小题6--7分）
?zy21．解：; (3分) ??2?xx?y2yxy?z=arctan+2 ( 6分).
xx?y2?y?2x3yz2. 解：记切点(x0,y0,z0) 则切平面的法向量为n?2(2x0,3y0,z0)满足：0?0?0 ，切点为：(1,?1,2)或
2?32x?1y?1z?2??(?1,1,?2) (3分)，切平面：2x?3y?2z?9or?9 ( 4分)， 法线方程分别为：或者2?32x?1y?1z?2?? ( 6分) 2?32?f(1,2)??1?23 ( 7分) 3. 解：?f(1,2)?(2,4) ( 3分),
?l1114. 解：f(x)?=?, ( 2分)
x?33?(x?3)31?()3??11x?3n?11n1nn??(?1)?()=?(?1)n()n?1(x?3)n,其中因为 ?(?1)x?，x?(?1,1),所以?x?33331?x3n?0n?01?()n?03x?3?1??1 ，即0?x?6.( 5分)
3??1?1n1n1n?1n当x?0时，级数为?发散；当x?6时，级数为?(?1)?发散,故=?(?1)()(x?3)，x?(0,6)，
x333n?0n?0n?0( 7分)
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4x??z???x1?2z?8y?0?5. 解：由?, 得到x?0与y?2z?0, ( 2分)
??z?4(y?2z)?0???y1?2z?8y2 再代入2x2?2y2?z2?8yz?z?8?0，得到7z?z?8?0即z?1,?8。 7由此可知隐函数z?z(x,y)的驻点为(0,?2)与(0,16)。 ( 4分) 716?2z4?2z4?2z由2?，，可知在驻点(0,?2)与(0,)有H?0。( 5分) ?0，2?7?x1?2z?8y?x?y?y1?2z?8y?2z4?0，所以(0,?2)为极小值点，极小值为z?1；( 6分) 在(0,?2)点，z?1，因此 2??x15168168?2z4?0，所以(0,)为极大值点，极大值为z??， ( 7分) 在(0,)点，z??，因此 2??7777?x15???2?x?0??1?y2?x?06. 解：记D1:?，则D?D1?D2.（2分） 故 D2:????1?y?1??1?y?1222222(x?y)d??(x?y)d??(x?y)d? ( 4分) ??????DD1D2??dy?(x?y)dx???d??r3dr??1?210223?217. 解：L所围区域D：x2?y2?a22020?? （7分） 34,由格林公式，可得
?Lxy2dy?x2ydx=
2πaπ4?(xy2)?(?x2y)222d?r?rdr?a.(7分) ==(x?y)dxdy(?)dxdy??????002?x?yDD
?0?z?1,?π8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，?:?0???,所以
2??0?r?1,xydxdydz??????=
11dzd?rcos??rsin??rdr ( 4分) ??00π20z 1 ?π201cos2?r3sin2?d??1rdr=(?)?02440n??n??π24101?. (7分) 8x O 1 四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明：因为limun?0,limvn?0，（2分）
故存在N，当n?N时，(un?vn)?un?vn?2unvn?3un，因此2．证明：因为
222y ?(un?1?2收敛。（8分） ?v)nn?f?(2xy)?2x，且?2x，故曲线积分?2xydx?f(x,y)dy与路径无关．（4分）
L?x?y
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因此设f(x,y)?x2?g(y)，从而
? (t,1) (0,0)2xydx?f(x,y)dy??0dx??[t2?g(y)]dy?t2??g(y)dy，（5分）
0 00 t 11?由此得t?2 (1,t) (0,0)2xydx?f(x,y)dy??0dx??[1?g(y)]dy?t??g(y)dy，（6分）
0 0 0 t 0 1 t t? 1 0g(y)dy?t??g(y)dy对任意t成立，于是g(t)?2t?1，即
（8分） f(x,y)?x2?g(y)?x2?2y?1． 一、
