《线性代数》作业
第一章
1、求排列(2n)(2n-1)…(n+1)1 2…(n-1)n的逆序数。 解：后面是正常顺序，逆序出现在前n个数与后n个数之间，2n的逆序数是2n-1，2n-1的逆序数是2n-2，……，n+1的逆序数是n，所以整个排列的逆序数是(2n-1)＋(2n-2)＋……＋n＝n(3n-1)/2
2、求排列246......(2n)135……(2n-1)的逆序数。
解析：后一项比前一项的算逆序一次，246......(2n)无逆序，所以从1开始，有246......(2n)共N个，3开始有46......(2n)有N-1个，.......，.2n-1有一个，所以，加一起得，逆序数为1+2+......+N=N（N+1）/2
N=n+(n-1)+......+2+1=n(n+1)/2
3、试判断a14a23a31a42a56a65，?a32a43a14a51a25a66，?a32a43a14a52a25a66是否都是六阶行列式中的项。
解a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为 t（431265）=0+1+2+2+0+1=6
所以a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项。
?a32a43a14a51a25a66下标的逆序数为 t（452316）=8所以?a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式中的项。
?a32a43a14a52a25a66下标的逆序数为t(452316)=8所以?a32a43a14a52a25a66不是六阶行列式中的项。4、已知4阶行列式D中的第3列上的元素分别是3，-4，4，2，第1列上元素的余子式依次为8，2，-10，
X，求X。 解：X=20
5、设ai2a31aj4a23a15是5阶行列式的一项，若该项的符号为负，则 i= 5 ,j= 4 。
6、要使3972i15j4成为偶排列，则 i= 6 ,j= 8 。
7、设D为一个三阶行列式，并且D=4，现对D进行下列变换：先交换第1和第2行，然后用2乘以行列式的每个元素，再用-3乘以第2列加到第3列，则行列式最后结果为 32 。
8、设对五阶行列式（其值为m）依次进行下面变换，求其结果：交换一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，现用-3乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。 解析：交换一行与第五行 行列式的值变号
转置 行列式的值不变
用2乘所有元素 行列式的值乘以2^5
现用-3乘以第二列加到第四列 行列式的值不变
最后用4除以第二行各元素（应该是用4“除”第二行各元素吧？） 行列式的值乘以1/4
最终行列式的值是：m×(-1)×2^5×1/4＝－8m
9、计算下列行列式
21?511?30?6
02?1214?76
510、设方程?x?22x03x7x?0。求x3的系数。 41
3?521110?5, D中元素aij的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij,求A11?A12?A13?A1411、 设D??13132?4?1?3及M11?M21?M31?M41.
00?100?000000????00000000= 。 ?10?1?12、n阶行列式Dn=0?0?1????113、当k= 时，行列式10kk2?0。 1?2k1114、已知行列式D4?3220554810?60，则2（A21+A23）= 。其中A21和A23分别为元素a21
28614和a23的代数余子式。
15、计算下面n+1阶行列式的值。其中bi≠0
1a1a20b2...0......an.........................bn00
?1b1?10...?1
00222......2202......2216、计算n阶行列式：D?220......22
...........22
22......0222......20第二章
?311?
?? 1. .已知f(x)?x2?x?1，A??312?，求f(A) ?1?10???
?010???2.求?100??001???
1993?531??100??????137??001??481??010?????3001
?200????1**3、已知A=?030?，矩阵X满足AX??A?X，其中A为A的伴随矩阵，则X= 。
?004???3???122??4.A??21?4?1?，r(A)?2,求X。
?13?2x???
5、 如果A为n阶方阵，求(A*)*
?1???6、设矩阵A,B满足A*BA?2BA?8E,其中A???2?,A*为A的的伴随矩阵，E为单位矩阵，求矩阵
?1???B.
7、 A为n阶可逆矩阵，则下列（ ）恒正确
(a).(2A)T=2AT, (b). (2A)-1=2A-1, (c). [(A-1)-1]T=[(AT)-1]-1, (d). [(AT)T]-1=[(A-1)-1]T
?200???-1
A?0208、如果A，B满足关系式（A-I）B=6I，其中I为三阶单位矩阵，则B= 。 ??，
?003???9、设矩阵方程???12???1????X?,则矩阵X= 。 ????01??4?
