高中数学新课标讲座之选修4-5不等式选讲 石嘴山市光明中学 潘学功
〖例3〗设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)。
(1)作出函数f(x)的图象；(2)若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，求a的值。 解 (1)f(x)＝|x＋1|＋|x－a| －2x－1＋a x＜－??
－1≤x＜a＝?a＋
??2x＋1－a x≥a函数f(x)如图所示．
，
(2)由题设知：|x＋1|＋|x－a|≥5，
如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象(如图所示) 又解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)． 由题设知，当x＝－2或3时，f(x)＝5， 且a＋1＜5即a＜4，
由f(－2)＝(－2)×(－2)－1＋a＝5得a＝2.
〖例4〗(2011·福建高考)已知函数f(x)＝|x－a|。
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 解 (1)由f(x)≤3得|x－a|≤3， 解得a－3≤x≤a＋3，
又已知不等式f(x)≤3的解集为 {x|－1≤x≤5}，
??a－3＝－1所以?
??a＋3＝5
，解得a＝2.
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|， 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)， 于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|
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高中数学新课标讲座之选修4-5不等式选讲 石嘴山市光明中学 潘学功 －2x－1，x＜－3，??
＝?5，－3≤x≤2，??2x＋1，x＞2，
所以当x＜－3时，g(x)＞5； 当－3≤x≤2时，g(x)＝5； 当x＞2时，g(x)＞5. 故实数m的取值范围是m≤5.
〖例5〗已知直线l过点(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当△AOB的面积最小时，直线l的方程。
解 如图所示，设直线l的斜率为k， 则其方程为y－2＝k(x－3)． 当x＝0时，y＝－3k＋2； 2
当y＝0时，x＝－＋3.
k1?2?∴S△AOB＝(－3k＋2)?－＋3? 2?k?4??1??－9k－＝?12＋??. k?2????
∵直线l与x轴和y轴的正半轴分别相交， 4
∴k＜0，得－9k＞0，－＞0.
k4??1??∴S△AOB＝?12＋?－9k－?? k??2??1?≥?12＋2 2?
－9k?－4??
?k??＝12. ???
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当且仅当－9k＝－，即k＝－时，S△AOB有最小值12.
k3因此所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
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