题目 高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值
高考要求
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值
的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍
重难点归纳
1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④
求函数式的最值或值域，⑤化简求值
2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，
熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的
变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问
题，常用配方法、换元法来解决 典型题例示范讲解
22
例1不查表求sin20°+cos80°+3cos20°cos80°的值
命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高
知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟，计算易出错
技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数
问题，使解法更简单更精妙，需认真体会
解法一 sin220°+cos280°+3sin220°cos80°
=
12 (1－cos40°)+
121212 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°
=1－=1－
cos40°+cos40°+
1212cos160°+3sin20°cos(60°+20°) (cos120°cos40°－sin120°sin40°)
+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－=1－
1234cos40°－cos40°－
1434cos40°－
34sin40°+
1434sin40°－
32sin220°
(1－cos40°)=
22
解法二 设x=sin20°+cos80°+3sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则 x+y=1+1－3sin60°=
12，
x－y=－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x=y=
14，
1即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=4
例2设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=
12的a值，并对此时的a值求y的最大值
命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以
及较强的逻辑思维能力
知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题
错解分析 考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配
方法、数形结合、分类讲座等
解 由y=2(cosx－
a2)－
2
a?4a?222及cosx∈［－1，1］得
?1 (a??2)?2?af(a)＝???2a?1 (?2?a?2)
2??1?4a (a?2)?∵f(a)=
12,
12∴1－4a=或 －
a2?a=
18?［2,+∞)
122－2a－1=
12，解得a=－1?(?2,2)，
12此时，y=2(cosx+
)2+
，
当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5
例3已知函数f(x)=2cosxsin(x+
?3)－3sinx+sinxcosx
2
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［
?12，
7?12］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值
命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还
考查计算变形能力，综合运用知识的能力
知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识
错解分析 在求f
-－1
(1)的值时易走弯路
技巧与方法 等价转化，逆向思维
解 (1)f(x)=2cosxsin(x+
?32
)－3sinx+sinxcosx
=2cosx(sinxcos
?3+cosxsin
?3)－3sin2x+sinxcosx
?3=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+∴f(x)的最小正周期T=π (2)当2x+
?3)
=2kπ－
?33?2，即x=kπ－
,5?12 (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2
(3)令2sin(2x+∴2x+则x=
?34)=1，又x∈［,
3?2?7?225?6］, ，
∈［
?］,∴2x+
??3=
?，故f-－1(1)= ?24
3?43?4例4 已知＜β＜α＜
,cos(α－β)=
1213,sin(α+β)=－
35,求sin2
α的值_________
解法一 ∵
?2＜β＜α＜
2,∴0＜α－β＜513?4 π＜α+β＜
23?4,
45.
∴sin(???)?1?cos(???)?,cos(???)??1?sin(???)??∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
?513?(?45)?12356?(?)??. 13565
解法二 ∵sin(α－β)=
513,cos(α+β)=－
45,
72654065∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－∴sin2α=(?2172652
?4065)??5665
学生巩固练习
1 已知方程x+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈
(－
??22,)，则tan
12???2的值是( )
43A
35B －2 C D
12或－2
2 已知sinα=
，α∈(
?2，π)，tan(π－β)=
12，则tan(α－2
β)=______
3 设α∈(
?3?4,4)，β∈(0，?4)，cos(α－
?4)=
35，sin(
3?4+β)=
513，
则sin(α+β)=_________
4 不查表求值:
2sin130??sin100?(1?1?cos10?353tan370?).
25 已知cos(
?4+x)=，(
17?1283＜x＜
7?4)，求
sin2x?2sin1?tanxx的值
6
已知α－β=
?4sin(2π，且α≠kπ(k∈Z)
求
1?cos(???)csc?4?2?sin?2??4)的最大值及最大值时的条件
7 如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积
BQP8 已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是
ORSAD，x∈D，求函数y=log2x?3124x?10的最小值，并求取得最小
