莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
§3.2 立体几何中的向量方法
知识点一 用向量方法判定线面位置关系
(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)． ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，?1)． 2②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系． ①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)． ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
解 (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)， ∴a＝－
1b，∴a∥b，∴l1∥l2. 31)， 23v，∴u∥v，∴α∥β. 5②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，?∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β. ②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l?α或l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)， ∴u＝－
1a，∴u∥a，∴l⊥α. 4
知识点二 利用向量方法证明平行问题
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明 方法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
M (0,1，
11)，N (,1,1)， 22D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
uuuur11于是MN =（，0，），
22设平面A1BD的法向量是
n=（x，y，z）. n＝(x，y，z)．
uuur?x?z?0,则n· DB＝0，得?x?y?0,?取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
uuuur11又 MN·n＝ (,0，)·(1，－1，－1)＝0，
22uuuuruuuuruuuuur1uuuur1uuuur方法二 ∵MN = C1N?C1M?C1B1?C1C
22rur1uuuuruuuu1uuu ?(D1A1?D1D)?DA1
22uuuuruuuur∴MN∥DA1，又∵MN?平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
知识点三 利用向量方法证明垂直问题
在正棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别
为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；
(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段． 证明 (1)方法一
如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则
A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．
uuuruuur于是PA＝(3,0,0)，FG＝(3,0,0)，
uuuruuur故 PA＝3FG，∴PA∥FG.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，
又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC. 方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则 E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
uuuruuurEF＝(0，－1，－1)，EG＝(0，－1，－1)，
uuuruuur则有n⊥EF，n⊥PA， ?y?z?0,∴?令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．
x?y?z?0,?莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
uuur而显然PA=（3，0，0）是平面PBC的一个法向量.
uuuruuur这样n·PA = 0,∴n⊥PA
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直， ∴平面EFG⊥平面PBC.
uuuruuuruuur（2）∵EG =（1， ?1， ?1），PG =（1，1，0），BC =（0， ?3，3），
uuuruuuruuuruuur∴EG·PG=1?1= 0，EG·BC =3?3 = 0，
∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG是PG与BC的公垂线段.
知识点四 利用向量方法求角
四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在
四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值．
解 (1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D—xyz，
∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
由PD⊥面ABCD得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角． ∴∠PAD＝60°.
在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23． ∴P(0,0,23)．
uuuruuur（2）∵PA＝(2,0，－23)， BC =（?2， ?3，0）
uuuruuurruuuruuuPA?BC13∴cos〈PA,BC〉= uu uruuur??13PABC∴PA与BC所成角的余弦值为13． 13 正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平
面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值．
解 取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1. 方法一 ∵△AMN，△BMN为等腰三角形， ∴AG⊥MN，BG⊥MN.
∴∠AGB为二面角的平面角或其补角． ∵AG=BG=6, 4莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
uuuruuuruuuruuuruuurAB?AG?GB,，设〈AG，GB〉=θ，
uuuruuuruuuruuuruuur22
GB＋GB2， AB＝AG＋2AG·
626662
∴1＝()＋2××cosθ＋().
444411∴cosθ＝，故所求二面角的余弦值为．
33
方法二 以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz
1111，0， )，N (,,0)， 2222111中点G(，，)，
244则M(
A(1,0,0)，B(0,0,0)，
由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．
uuuruuur111111∴GA＝(，－，－)，GB＝(，－，－)，
2442441uuuruuur?uuuruuurGA?GB8??1, ∴ cos
3方法三 建立如方法二的坐标系，
uuuur??AM?n1?0,∴?uuu r??AN?n1?0,1?1?x?z?0,??22即?取n1＝(1,1,1)． 11??x?y?0,??22同理可求得平面BMN的法向量n2＝(1，－1，－1)． ∴cos〈n1，n2〉＝
n1?n2n1n21 3??11??,
33?3故所求二面角的余弦值为
知识点五 用向量方法求空间的距离
