222＝(x1＋2y21)＋4(x2＋2y2)＋4(x1x2＋2y1y2) ＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，
y1y21
kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，
x1x2222
所以x＋2y＝20，
x2y2
所以P点是椭圆＋＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，则由椭
?25?2?10?2
圆的定义，|PF1|＋|PF2|为定值，又因为c＝?25?2－?10?2＝10，因此两焦点的坐标分别为F1(－10，0)、F2(10，0)．
【选做题】
x2y22c2216．[解答] (1)设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，因为e＝，所以＝，据题意?c，?ab2a22??
112
2c12
在椭圆上，则2＋2＝1，于是＋2＝1，解得b＝1，因为a＝2c，a2－c2＝b2＝1，则c＝1，
ab2b
a＝2，
x22
故椭圆的方程为＋y＝1.
2
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
x22??2＋y＝1，4km由?得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝
2k＋1
??y＝kx＋m，
2m2－2
， 2k2＋1
2
－4km2222m－2于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m＝k·2＋km·2＋m2＝
2k＋12k＋1
22m－2k
. 2k2＋1
2m2－2m2－2k23m2－2k2－2→→
因为OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝2＋2＝＝0，即3m2－2k2－222k＋12k＋12k＋1
2
2k＋2
＝0，所以m2＝.
3
2k2＋23|m|m26
设原点O到直线l的距离为d，则d＝2＝＝＝. 223k＋1k＋1k＋1
→→
当直线l的斜率不存在时，因为OP⊥OQ，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP，OQ的
666666
方程分别为y＝x，y＝－x可得P?，?，Q?，－?或者P?－，－?，
3?3??33??3?3
666
Q?－，?.此时，原点O到直线l的距离仍为. 3?33?
6
综上分析，点O到直线l的距离为定值. 3
