11. 如图，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K. 求证：K是DB的中点.
12. 如图，P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点. 求证：DM=DN
13. 如图，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点. 求证：HG∥AP.
14. 如图，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点. (1)求证：MB=MC;
(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.
15.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC. 求证：BD=2CD.
16. 已知：在?ABC中，BC?AC，动点D绕?ABC的顶点A逆时针旋转，且AD?BC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．
（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论
． ?AMF??BNE（不需证明）
（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，?AMF与?BNE有何数量关系？请分别
M写出猜想，并任选一种情况证明．
N MD DF(N) CFCC F
NDH M BBABAAEE E图1 图2 图3
17. 四边形ABCD，DC=AB, NC= BN , MD=AM，MF∥CD交BC于F，延长BA、FM相交于点E， 探究∠E与∠FMN的数量关系；
18. 如图，四边形ABCD、四边形ECGF均为平行四边形，∠BAD=
∠CEF，AB=CE，AD=EF，CE=EF，M是DE的中点，CM与BG交于点O。探究∠BOM与∠BAD之间的数量关系。
19 .我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题： （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在△ABC 中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形； （3）如图2，若点D在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．
20.如图1 ，正三角形ABO与正三角形CDO有
一个公共点O，N为AB的中点，M为CD的中点，P为BD的中点，且A、O、C三点共线， ⑴求出∠MPN的度数；
⑵当正三角形CDO绕点O旋转一定的角度，如图2，其他条件不变，⑴中的结论成立吗？说明理由；
⑶如图3，若把⑵中“正三角形ABO与正三角形CDO”改为等腰三角形ABO与 CDO，其中AO=OB，OC=OD，∠ABO=∠CDO=α”，探究 ∠MPN与α的数量关系；
21. 在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M；
⑴如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，容易知道： FM=MN，FM⊥MH；将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2， 求证：△FMH是等腰直角三角形；
⑵将图2中的CE缩短到图3的情况，其他条件不变，△FMH还是等腰直角三角形吗？说明理由；
22. .如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，
（1）将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到Rt△AC'B'，直线BB'交直线CC'于点D，连接AD.
探究：AD与BB'之间的关系，并说明理由。
（2）如图 -2，若将Rt△ABC绕点A逆时针旋转任意角度，其他条件不变，还有（1）的结论吗？为什么？
23. 在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，M.N分别是AB.BD的中点，连接MN交CE于点K
（1）如图 -1，当C.B.D共线，AB=2BC时，探究CK与EK之间的数量关系，并证明； （2）如图 -2，当C.B.D不共线，AB≠2BC时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将题目中的条件“∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE”都去掉，再添加一个条件，写出一个类似的对一般三角形都成立的问题（画出图形，写出已知和结论，不用证明）
24. 如图，△ABO与△CDO均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M为BD的中点，MN⊥AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。
25．如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．
26．阅读下面短文：
如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）
（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1 = S2（填“＞”“=”或“＜”）．
（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 1 个，利用图③把它画出来．
（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 3 个，利用图④把它画出来．
（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？ 以AB为边
27．如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．
28．如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．
（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；
（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．
