2002年
一、以下结论是否成立，如成立，试证明，否则举反例。（每题4分，共24分）
1．若a为f’(x)的k重根，则a为f(x)的k+1重根，这里f’(x)表示多项式f(x)
的微商（或导数）。
2．设A为m*n阵，B为n*m阵，且m>n，则|AB|=0。
3．若A，B均为n阶实对称阵，具有相同的特征多项式，则A与B相似。 4．设a1，a2，a3，a4线性无关，则a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a1的秩为3。
+V2。 5． 设V1，V2均为线性空间V的子空间，满足V1与V2的交集为{0}，则V=V1○
6．设A为n阶正定阵，则一定存在正定阵B，使A=B2。 二、（10分）已知线性方程组Ax=kb1+b2，其中 1 1 -1 2 1
A=（-1 -2 1 ），b1=（ 1），b2=（ 3 ） 1 -1 -1 3 -1
求k，使方程组有解，并求有解时的通解。
三、（10分）已知A是n阶实对称阵，a1，??，an是A的特征值，相对应的标
准正交特征向量为b1，??，bn，求证 A=a1b1b1T+??+anbnbnT 这里“T”表示转置。 1 0 1
四、（12分）设线性变换/A在线性空间V的基a1，a2，a3下矩阵为（ -2 1 0 ） 1 1 3
1. 求值域/AV，核/A-1(0)的基。 2. 问V=/AV+rA-1(0)吗？为什么。
五、（10分）设A=(aij)n*n，如果ai1+ai2+??+ain=0，i=1,??,n，求证
A11=A12=??=A1n
这里Aij为aij的代数余子式。
六、（12分）设A为n阶矩阵，试证A2=A的充要条件为r(A)+r(I-A)=n
这里I为n阶单位阵，r(A)表示A的秩。
七、（10分）设A为4阶矩阵，且存在正整数k，使Ak=0，又A的秩为3，分别
求A与A2的若当（Jordan）标准型。
八、（12分）证明，若f(x)与g(x)互素，并且f(x)，g(x)次数都大于零，那么可以
选取u(x)，v(x)使a(u(x)) 并且这样的u(x)，v(x)是唯一的。 这里a(f(x))表示f(x)的次数。 2003年 一、 填充题（每小题6分，共30分） 1．设a1，a2，a3，b1，b2均为四维列向量，且四阶行列式 |a1，a2，a3，b1|=m，|a1，a2，b2，a3|=n 则四阶行列式|a1，a2，a3，(b1+b2)|=。 2．已知a=(1，2，3)，b=(1，1/2，1/3)，设A=aTb，其中aT表示a的转置， 则A*=。 3．设矩阵A的行列式因子为1，a-1，(a-1)3，则A的初等因子为，A的若当 标准型为。 4．设V是数域P上全体次数<4的多项式与零项式组成的线性空间，且x2， x3+x，x2+1，x+1是V的一组基，则x2+2x+3在这组基下的坐标（写成行向量形式）为。 5．f(x)=x4+x3-3x2-4x-1，g(x)=x3+x2-x-1的最大公因式(f(x),g(x))=。 二、选择题（每小题6分，共30分） 1．设向量组a1，a2，a3线性无关，向量b1可由a1，a2，a3线性表示，而向量b2不能由a1，a2，a3线性表示，则对于任意常数k，必有（） (A) a1，a2，a3，kb1+b2线性无关； (B) a1，a2，a3，kb1+b2线性相关； (C) a1，a2，a3，b1+kb2线性无关； (D) a1，a2，a3，b1+kb2线性相关。 2．设A是m*n矩阵，B是n*m矩阵，则（） (A) 当m>n时，|AB|不等于0； (B) 当m>n时，|AB|=0； (C) 当n>m时，|AB|不等于0； (D) 当n>m时，|AB|=0。 3．设n阶矩阵A可逆（n>=2），A*为A的伴随矩阵，则（） (A) (A*)*=|A|(n+1)A； (B) (A*)*=|A|(n-1)A； (C) (A*)*=|A|(n+2)A； (D) (A*)*=|A|(n-2)A。 1 2 3 4．设Q=（2 4 t ），P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0，则（） 3 6 9 (A) 当t=6时，P的秩必为1；(B) 当t=6时，P的秩必为2； (C) 当t不等于6时，P的秩必为1；(D) 当t不等于6时，P的秩必为2。 5．已知n1，n2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，a1，a2是Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解（一般解）必是（） (A) (n1-n2)/2+k1a1+k2(a1+a2)； (B) (n1+n2)/2+k1a1+k2(a1-a2)； (C) (n1-n2)/2+k1a1+k2(n1+n2)； (D) (n1+n2)/2+k1a1+k2(n1-n2)。 三、（20分）设多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a0是整系数多项式，an不等于0，p 是素数，若p|ai(i=0，1，2，?，n-1)，但p&an，p2&a0，求证f(x)是有理数域上不可约多项式。 四、（12分）设有n元实二次型f(x1，?，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+? +(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，?，n)为实数，试问：当a1，a2，?，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2?，xn)为正定二次型。 五、（18分）设V是数域P上的一个n维线性空间，a1，?，an是V的一个基， 用V1表示由a1+?+an生成的线性子空间，令 V2=|k1a1+k2a2+?+knan|k1+k2+?+kn=0，ki属于P| (1) 证明V2是V的子空间， (2) 证明V=V1○+V2， (3) 设V上线性变换A在基a1，?，an下的矩阵A是变换矩阵（即：A的每 一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0），证明V1与V2都是A的不变子空间。 六、（15分）设A是n维线性空间V上可逆线性变换。 (1) 试证A的逆变换A-1可表成A的多项式。 (2) 如令f(a)为A的特征多项式，试证当多项式g(a)与f(a)互素时，g(A)是可逆线性变换。 七、（15分）设a1，?，an与b1，?，bn是n维欧氏空间V中两个向量组，满足 八、（10分）设A1，A2，?，An都是n阶非零矩阵，满足 当i=j时，AiAj=Aj；当i不等于j时，AiAj=0 1 0 证明：每个Ai（i=1，?，n）都相似于对角矩阵[ 0 ] ? 0 2004年 一、（18分）已知齐次线性方程组 (a1+b)x1+a2x2+?+anxn=0 {a1x1+(a2+b)x2+?+anxn=0 ??????????? a1x1+a2x2+?+(an+b)xn=0 其中a1+a2+?+an不等于0，试讨论a1，?，an和b满足何种条件时， (1) 方程组仅有零解， (2) 方程组有非零解。此时，用基础解系表示出所有解。 二、（17分）设实二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+ax32+2x1x2+2x1x3-2x2x3 (1) 求正交变换X=QY把f化成标准形。 (2) 问a为何值时，f的秩为2？此时，求f(x1，x2，x3)=0的解。 三、（15分）设a1，?，an为互不相同的整数， g(x)=(x-a1)?(x-an)-1 (1) 求证g(x)在有理数域Q上不可约。 (2) 对于不等于-1的整数t，问h(x)=(x-a1)?(x-an)+t在有理数域Q上是否可约，为什么？ 四、（15分）设f为数域P上线性空间V上的线性变换，多项式p(x)，q(x)互素，且满足p(f)q(f)=0。 求证V=W○+S且W，S为f的不变子空间，这里W=K(p(f))，S= K(q(f))，其中K(g)表示g的核。 五、（10分）设m1，m2，m3为欧式空间V的标准正交基，a=m1-2m2，b=2m1+m3，求正交 变换H，使H(a)=b。 六、（10分）设A为n阶方阵，求证存在正整数m，使秩(Am)=秩(Am+1)，并证存在n阶矩 阵B，使An=An+1B。 七、（15分）设a，b均为非零n维列向量，记A=abT (1) 求A的最小多项式。 (2) 求A的若当标准形。 八、（20分）设V是数域P上全体2阶矩阵所构成的线性空间，给定一矩阵A属于V，定 义V上的变换Q如下： QX=AX，VX属于V (1) 证明：Q为V上的一个线性变换。 (2) 取V的一组基e1=（1 0），e2=（0 1），e3=（0 0），e4=（0 0）， 0 0 0 0 1 0 0 1 求Q在此组基下的矩阵。 (3) 求证如果A可相似对角化，则可找到V的一组基使Q在此组基下的矩阵为对角阵。 九、（15分）设A，B分别为m阶和n阶矩阵，求证A，B无公共特征值的充要条件为矩阵 方程AX=XB只有零解。 十、（15分）设线性空间V的两组基a1，?，an；b1，?，bn。 (1) 求证对Vi属于{1，?，n}，Eaj属于{a1，?，an}，使b1，?，bi-1，aj，bi+1，?， bn为V的基。 (2) 如果n=3，对Vi属于{1，2，3}，是否存在j,k属于{1，2，3}，j不等于k，使bi， aj，ai为V的基，为什么？ 2009年东南大学经管学院管理科学与工程复试 运筹学试题(回忆版)
