第二章 随机变量及其分布
1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律
解：X可以取值3，4，5，分布律为
21?C23C5P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)??11021?C33C5 P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??310?610
P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?也可列为下表 X： 3， 4，5 P：
21?C43C5136 ,,1010103.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。
P(X?0)?3C133C15?22 3512? 351 35O 1 2 x P P(X?1)?12C2?C133C1521C2?C133C15P(X?2)?再列为下表
?X： 0， 1， 2 P：
22121 ,,3535354.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0 16 （2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。） （3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。 解：（1）P (X=k)=qk1p －k=1,2,?? （2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功} P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr, （3）P (X=k) = (0.55)k－10.45 ??n?0,1,2,?,其中 q=1－p， r?1rk?r,k?r,r?1,? 或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ck?1p(1?p) k=1,2… 2k?1P (X取偶数)= ?P(X?2k)??(0.55)k?1k?10.45?11 316.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ 225?22P(X?2)?C5pq?C5?(0.1)2?(0.9)3?0.0729 （2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ 345P(X?3)?C5?(0.1)3?(0.9)2?C5?(0.1)4?(0.9)?C5?(0.1)5?0.00856 （3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ 01P(X?3)?C5(0.9)5?C5?0.1?(0.9)4?C52?(0.1)2?(0.9)3 3?C5?(0.1)3?(0.9)2?0.99954 （4）至少有一个设备被使用的概率是多少？ P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.59049?0.40951 [五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。 （1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。 （2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。 （3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 17 解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，? P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去} 21 =()n?1?， n=1，2，?? 33（2）Y的可能取值为1，2，3 1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去} P {Y=1}=P {第1次飞了出去}= = 211?? 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去} 2!1? 3!3 = (3)P{X?Y}???P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?133?P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?2?全概率公式并注意?到 ??P{X?Y|Y?1}?0?? ??? ?P{Y?k}P{X?k}k?23注意到X,Y独立即 P{X?Y|Y?k} ?111?121?8??????27333??333???P{X?k}同上，P{X?Y}? ??P{Y?k}P{X?Y|Y?k} k?13k?131121419 ???????P{Y?k}P{X?k}?1333932781故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?38 818.[八] 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。 记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数 由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。 P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) 18 11 = (0.4)3× (0.3)3+ [C3?0.6?(0.4)2]?[C3?0.7?(0.3)2] 22?(0.6)2?0.4]?[C3?(0.7)2?.3]?(0.6)3 ?[C3 ?(0.7)3?0.321 （2）甲比乙投中次数多的概率。 P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) =P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) 12?0.6?(0.4)2]?(0.3)3?[C3?(0.6)2?0.4]?(0.3)8? =[C3 [C3?(0.6)?0.4]?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6) 1?(0.3)3?(0.6)3?[C3?0.7?(0.3)2]?(0.6)3 22123 ?[C3?(0.7)?0.3]?0.243 9.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。 （1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。） 解：（1）P (一次成功)= 2211 ?470C83（2）P (连续试验10次，成功3次)= C10(136973。此概率太小，按)()?707010000实际推断原理，就认为他确有区分能力。 [九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求 （1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率 （3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率 （4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率 19
