→→(2)EF·DC； (3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值． →→→
解：设AB＝a，AC＝b，AD＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， →1→11(1)EF＝2BD＝2c－2a，
→→→?11?111111BA＝－a，EF·BA＝?2c－2a?·(－a)＝－2c·a＋2a2＝－2×2＋2＝4. ?
?
→→→?11?(2)DC＝b－c，EF·BA＝?2c－2a?·(－a)
?
?
111＝2a2－2a·c＝4， →→1EF·DC＝2(c－a)·(b－c) 112＝2(b·c－a·b－c＋a·c)＝－4；
→→→→111(3)EG＝EB＋BC＋CG＝2a＋b－a＋2c－2b 111＝－2a＋2b＋2c，
→→121212111122
|EG|＝4a＋4b＋4c－2a·b＋2b·c－2c·a＝2，则|EG|＝2. →11(4)AG＝2b＋2c，
→→→CE＝CA＋AE＝－b＋12a， →→→→
cos〈AG，CE〉＝AG·CE→→＝－23，
|AG||CE|由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.
13．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠90°，D、E分别为AB、BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． →→→
解：(1)证明：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0， →∴CE＝b＋1→112c，A′D＝－c＋2b－2a.
ACB＝
→→11∴CE·A′D＝－2c2＋2b2＝0， →→
∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.
→→→5(2)AC′＝－a＋c，∴|AC′|＝2|a|，|CE|＝2|a|. →→1?1212?
?AC′·CE＝(－a＋c)·b＋2c?＝2c＝2|a|，
?
?
12
→→2|a|10
∴cos〈AC′，CE〉＝＝10.
522·2|a|10
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为10. [热点预测]
14．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.
(1)求证：BD⊥PC；
→→
(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面PAB，求λ的值． 解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，
DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(1，3，0)，D(0,0,0)，C(－3，3，0)．
→
(1)设PD＝a，则P(0,0，a)，BD＝(－1，－3，0)， →
PC＝(－3，3，－a)，
→→∵BD·PC＝3－3＝0，∴BD⊥PC.
→→→
(2)由题意知，AB＝(0，3，0)，DP＝(0,0，a)，PA＝(1,0，－a)，→
PC＝(－3，3，－a)，
→→→
∵PE＝λPC，∴PE＝(－3λ，3λ，－aλ)，
→→→
DE＝DP＋PE＝(0,0，a)＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a－aλ)．
→??AB·n＝0，
的法向量，则?
→??PA·n＝0，
设n＝(x，y，z)为平面PAB
即
??3y＝0，? ??x－az＝0.
令z＝1，得x＝a，∴n＝(a,0,1)， →
∵DE∥平面PAB，∴DE·n＝0， ∴－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0， ∵a≠0，∴λ＝14.
