得R后就可以求出O＇P了，电子经过磁场的时间可用t=
AB?R来求得。 ?VVv2mv 由Bev?m得R=.OP?(L?r)tan?
ReB?reBr， tan()??2RmV2tan()2eBrmv2? tan??22222?mv?eBr1?tan2()22(L?r)eBrmv， OP?(L?r)tan??22mv?e2B2r2,L A M
?O θ B O,
R θ/2 θ/2 O//
P N
??arctan(t?2eBrmv) 22222mv?eBr?Rv?m2eBrmvarctan(22) 222eBmv?eBr【例3】（2006年天津市理综试题）在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
解析：（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。
如图11所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径 r=R，又
，
则粒子的荷质比为
。
（2）粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角60°，粒子做
圆周运动的半径
，又，所以 ，
粒子在磁场中飞行时间：
。
点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小和方向，但由于有界磁场发生改变（包括磁感应强度的大小或方向的改变），从而改变了该粒子在有界磁场中运动的轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射点的位置。
练习：4．如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直
于纸面向里，一带负电的粒子（不计重力）沿水平方向以速度v正对着磁场圆的圆心O入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60o角。
?????????? 求：⑴该粒子的比荷q/m；
? ?R ???B ? ⑵该粒子在磁场中的运动时间；
v ??????????????O ⑶若入射方向仍然沿水平方向，为使粒子通过该磁场区域后速度
??????方向的偏转角最大，粒子的入射点向上平移的距离d是多少？ ??????????
??q3v ?m3BR3πR ⑵t?
3v解：⑴ ⑶d?3R
3⑵质量m，电荷量q的带正电粒子，以速度v沿与磁场的水平直径MN平行的方向射入磁感应强度为B半径为r的圆形匀强磁场区，已知mv?r，为
qBP M α v θ N Q v B O r 使粒子在磁场中经历的时间最长，入射点P到MN的距离应是多少？
R θ 设粒子在磁场中轨迹弧长为l，粒子运动经历的时间t=θm/Bq∝θ，θ
O′ =l/R∝l，由于轨道半径R大于磁场半径r，粒子在磁场中的轨迹是劣弧，在
同圆中，劣弧越长对应的公共弦也越长。因此射入、射出点的连线应是磁场圆的直径。做出辅助线如图，sin??sin??r，P到MN的距离h=rsinα可求。
2R例题：
⑶一束水平向右发射的平行带正电粒子束射向圆形匀强磁场区，若粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径，试证明所有进入磁场的粒子将从同一点射出圆形磁场区，并确定该点的位置。
证明：以任意一个入射点P1为例，设轨道圆圆心为O1，射出点为Q1，磁O1 场圆和轨道圆的半径均为r，由已知，O1P1=O1Q1=OP1=OQ1=r，由几何知识，r 四边形O1P1OQ1为菱形。P1O1是洛伦兹力方向，跟初速度方向垂直，菱形的
P1 对边平行，因此OQ1也跟初速度方向垂直，Q1是圆周的最高点。 O2 反之也可以证明：只要粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径，那么从磁场圆周上同一点沿各个方向射入圆形磁场的粒子，射出后一定形成宽
P2 度为磁场圆直径的平行粒子束。
y 例题：如图所示，在x-O-y坐标系中，以（r，0）为圆心、r为半径的
圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。在y > r的足够大的区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。从O点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中运动的轨迹半径也为
r r。已知质子的电荷量为q，质量为m，不计质子所受重力及质子间相互作用力的影响。⑴求质子射入磁场时速度的大小；⑵若质子沿
O x轴正方向射入磁场，求质子从O点进入磁场到第二次离开磁场经r B 历的时间；⑶若质子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从O点射入第
一象限的磁场中，求质子在磁场中运动的总时间。
Q1 r O B v E x
解：⑴v?qBrm
⑵t?t1?t2= ?m+2Br
EqB ⑶t总=
T?m?(示意图如右。无论θ取何值，从磁场边缘A射出时必然沿y轴正向，2qB
在电场中往返后，又从A沿y轴负向返回磁场，从C射出。从几何关系可以判定，图中O2OO1A和O3CO1A都是边长为r的菱形，因此OA弧和OC弧对应的圆心角∠O2和∠O3之和为180o，质子在磁场中经历的总时间是半周期。)
3、带电粒子以同样的水平分速度射入匀强磁场区
y 如图所示，平行板P、Q关于x轴对称放置，两板间接有正弦交N P r 变电压，y轴右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从P、Q左侧
v0 O 中点S向右连接发射初速度相同的带正电粒子。不考虑粒子间相互
θ v作用，每个粒子穿越极板过程时间极短，可认为电压恒定。试证明：S M θ 0 v B 所有粒子从y轴进入、穿出磁场的两点间距离相等。 vy Q 证明：设粒子射入磁场的速度为v，与水平方向夹角为θ，无论两板间电压多大，都有v0=vcosθ，射入、穿出点间距离d?2?x
2mv0mv与偏转电压高低?cos??BqBq无关。
五、带电粒子射入条形匀强磁场区
⑴质量m，电荷量q的带正电粒子，以垂直于边界的速度射入磁感应强度为B，宽度为L的匀强磁场区。讨论各种可能的情况。
①速率足够大的能够穿越该磁场区（临界速度对应的半径为L）。需画的辅助线如图中
L虚线MN、O′M所示。轨迹半径R?mv，偏转角由sin??解得；侧移y用勾股定理
RBqR2=L2+(R-y)2解出；经历时间由t=θm/Bq计算。 L v ②速率v较小的未能穿越磁场区，而是从入射边射出。根据对称性，粒子在O θ y M 磁场中的轨迹一定是半圆，如图中虚线所示，该半径的最大值为磁场宽度L。无N y v 论半径多大，只要从入射边射出，粒子在磁场中经历的时间都一定相同，均为R T/2。 B ⑵质量m，电荷量q的带正电粒子，以与边界夹角为θ的速度射入磁感应强O′ 度为B，宽度为L的匀强磁场区。为使粒子不能穿越该磁场区，求速度的N v 取值范围。 R 画出与初速度对应的半径方向，该射线上有且仅有一个点O′到O和L O′ B v θ 磁场上边界等距离，O′就是该临界圆弧的圆心，R满足R(1+cosθ)=L。与
θ O M R对应的速度就是临界速度，速度比它小的都不能穿越该磁场。轨迹对应
的圆心角均为2(π-θ)，在磁场中经历的时间均为t=2(π-θ)m/Bq。
⑶质量m，电荷量q的带正电粒子，以与边界成任意角度的相同速率射入磁感应强度为B，宽度为L的匀强磁场区。为使所有粒子都不能穿越该磁场，求粒子的最大速度。
速率相同的条件下，最容易穿越磁场的是沿磁场下边界向左射入的粒子，如果它对应的半径r=L/2（对应的轨迹圆弧如图中实线所示）将恰好到达磁场上边界，
B 那么沿其他方向射入磁场的粒子必然不能穿越该磁场。如果以垂直于下L v v O
