精 品 文 档
长沙市2017届高三年级统一模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.在复平面内，复数
3i1?i对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 2.已知集合A??1,2,3?,B??x|x2?3x?a?0,a?A?,，若AB??，则a的值为
A. 1 B. 2 C.3 D.1或2 3.将函数y?sin??2x????6??的图象向左平移
?3个单位，所得函数的解析式为 A. y?sin??25???x?6?? B. y??cos2x C. y?cos2x D. y?sin???2x???6?? 4.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为 A.
1771136?升 B. 2?升 C. 66?升 D. 10933
?升 5.右图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为2的半圆，则该几何体的表面
积为
A. 3? B. 4? C. 5? D. 12?
66.二项式??x21???x??的展开式中
A. 不含x9项 B. 含x4项 C. 含x2项 D. 不含x项
7.A是抛物线y2?2px?p?0?上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当AF?4时，
?OFA?120,则抛物线的准线方程是
试 卷
精 品 文 档
A. x??1 B. y??1 C. x??2 D. y??2 8.某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得
7i?N，”设计程序框图如右，则判断框中可填入
A. x?N B. x?N C. x?N D. x?N 9.在?ABC中，C?2?3,AB?3,则?ABC的周长为 A. 6sin??A????3???3 B. 6sin???A???6???3 C. 23sin??A????3???3 D. 23sin???A???6???3
10.函数y?lnx?x2的图象大致为
11.P是双曲线C:x22?y2?1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则PF1?PQ的最小值为 A. 1 B. 2?155 C. 4?155 D. 22?1 12.对于满足0?b?3a的任意实数a,b，函数f?x??ax2?bx?c总有两个不同的零点，则
a?b?ca的取值范围是 A. ??1,7??4?? B. ?1,2? C. ?1,??? D. ?2,???
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
试 卷
精 品 文 档
13.
??1?cosx?dx? .
0?14.空气质量指数（Air Quality Index,简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；大于300为严重污染.一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如右.根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为 .（该年为365天） 15. 化简：
2sin??????sin2?cos2?2? . 16.平行四边形ABCD中，AB?3,AD?2,?BAD?120,P是平行四边形ABCD内一点，且
AP?1，若AP?xAB?yAD，则3x?2y的最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）
已知数列?an?为等差数列，其中a2?a3?8,a5?3a2. （1）求数列?an?的通项公式；
（2）数列?bn?中，b1?1,b2?2，从数列?an?中取出第bn项记为cn，若?cn?是等比数列，求?bn?的前n项和.
18.（本题满分12分）张老师 上班，有路线①与路线②两条路线可供选择. 路线①：沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为
12,，若23A处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟.
路线②：沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为
32，若45a处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟.
（1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；
（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由.
试 卷
精 品 文 档
19.（本题满分12分）
如图，以A,B,C,D,E为顶点的六面体中，?ABC和?ABD均为正三角形，且平面ABC?平面ABD，EC?面ABC,EC? （1）求证：DE?AB;；
（2）求二面角D?BE?A的余弦值.
20.（本题满分12分）
如图，P是直线x?4上一动点，以P为圆心的圆?经定点B?1,0?，直线l是圆?在点B处的切线，过A??1,0?作圆?的两条切线分别与l交于E,F两点. （1）求证：EA?EB为定值； （2）设直线l交直线x?4于点Q,证明：
3,AB?2. 2EB?FQ?BF?EQ.
21.（本题满分12分） 已知函数f?x??ex?a,a，f?x?为实数. x （1）当a?0时，求函数f?x?的单调区间；
（2）若f?x?在?0,???上存在极值点，且极值大于ln4?2，求a的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.
试 卷
