∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，
∵∠ABC=60°， ∴∠BFH=30°=∠H， ∴BH=BF=1，
在Rt△PEH中，PH=2PE=2t， ∴AH=AP+PH=AB+BH， ∴2t+2t=5，
∴t=，
即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．
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24．（12.00分）（2018?长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数
2 2
y=﹣x+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x﹣mx﹣1（x＜0）的图象记
为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的
周长为L．
（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值； （2）求L与m之间的函数关系式；
（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；
（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的
取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题． 【专题】153：代数几何综合题．
【分析】（1）求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题； （2）利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；
2（3）由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G2的顶点M（﹣m，m
﹣1）在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题； （4）分两种情形讨论求解即可；
【解答】解：（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），B（1，1）
2
把B（1，1）代入y=﹣x+mx+1中，得到1=﹣+m+1，
∴m=．
（2）∵抛物线G1的对称轴x=﹣=m，
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∴AE=ED=2m，
∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O， ∴AD=BC=4m，AB=CD=2， ∴L=8m+4．
（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，
2
∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m﹣1）在线段AE上，
2
∴m﹣1=1，
∴m=2或﹣2（舍弃）， ∴L=8×2+4=20．
2
（4）①当最高点是抛物线G1的顶点N（m，m+1）时，
若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍弃），
若m2+1=9时，m=4或﹣4（舍弃），
又∵m≤2，
观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，
②当（2，2m﹣1）是最高点时， ，
解得2≤m≤5， 综上所述，1≤m≤5， ∴12≤L≤44．
【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，
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解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
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