五、(本题满分10分)
已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??},L为D的正向边界.试证: (1)??xesinydy?ye?sinxdx???Lxe?sinydy?yesinxLdx.
(2)
??sinxLxesinydy?ye?dx?2?2.
六、(本题满分10分)
某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k?0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问
(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?
(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m表示长度单位米.)
七、(本题满分12分)
设函数y?y(x)在(??,??)内具有二阶导数,且y??0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.
(1)试将x?x(y)所满足的微分方程d2xdy2?(y?sinx)(dxdy)3?0变换为y?y(x)满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?32的解.
八、(本题满分12分) 设函数f(x)连续且恒大于零,
???f(x2?y2?z2)dvF(t)??(t)??f(x2?y2)d?x2?y2)d?,G(t)?D(t)D??f((t)?t?1f(x2)dx,
其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2},D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.
(1)讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2)证明当t?0时,F(t)?2?G(t).
九、(本题满分10分)
?设矩阵A??322??232??010??,P???101??,B?P?1A*P,求B?2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩
??223????001??阵,E为3阶单位矩阵.
十、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax?2by?3c?0, l2:bx?2cy?3a?0, l3:cx?2ay?3b?0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
(1)乙箱中次品件数的数学期望.
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二、(本题满分8分)
设总体X的概率密度为
2e?2(x??)x??f(x)?
x?00??min(X,X,?,X). 其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记?12n(1)求总体X的分布函数F(x). (2)求统计量??的分布函数F??(x).
(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.
2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ .
(2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ .
(3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分
?Lxdy?2ydx的值为__________. (4)欧拉方程x2d2ydx2?4xdydx?2y?0(x?0)的通解为__________ . ?(5)设矩阵A??210??120??,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B??001??=__________ .
(6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)把x?0?时的无穷小量???xcost2dt,???x2tantdt,???x3000sintdt,使排在后面的是前一个的高阶无
穷小,则正确的排列次序是
(A)?,?,? (B)?,?,?
(C)?,?,?
(D)?,?,?
(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得 (A)f(x)在(0,?)内单调增加
(B)f(x)在(??,0)内单调减少 (C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)
(D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)
?(9)设
?an为正项级数,下列结论中正确的是
n?1?(A)若nlim??nan=0,则级数
?an收敛
n?1??(B)若存在非零常数,使得limn??nan??,则级数
?an发散
n?1?(C)若级数
?an收敛,则limn2n?1n??an?0
?(D)若级数
?an发散, 则存在非零常数?,使得limn??nan??
n?1(10)设f(x)为连续函数,F(t)??tt1dy?yf(x)dx,则F?(2)等于
(A)2f(2)
(B)f(2)
(C)?f(2)
(D) 0
(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为
?010?010?(A)???100??
(B)?
??101??101???001?
????010?011?(C)???100??
(D)?100????
?011????001??(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若
P{X?x}??,则x等于
(A)u?
(B)u21??
2(C)u1??
(D) u1??
2设随机变量X?,X21n(14)1,X2,n(n?1)独立同分布,且其方差为??0.令Y?n?Xi,则
i?1(A)Cov(X1,Y)??2n
(B)Cov(X1,Y)??2
(C)D(Xn?21?Y)??2 (D)D(X)??1n
n1?Yn?2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)
设e?a?b?e2,证明ln2b?ln2a?4e2(b?a).
(16)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)
(17)(本题满分12分) 计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧. ?
(18)(本题满分11分)
设有方程xn??nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当??1时,级数?x?n收敛.
n?1
(19)(本题满分12分)
设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.
(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组
??(1?a)x1?x2???xn?0,??2x1?(2?a)x2???2xn?0,(n?2),???????
??nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
(21)(本题满分9分)
?12?设矩阵A??3???14?3??的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
??1a5??
