曲一线科学备考
故1-x-xln x≤1+e-2. 设φ(x)=ex-(x+1). 因为φ'(x)=ex-1=ex-e0,
所以x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增, φ(x)>φ(0)=0,
故x∈(0,+∞)时,φ(x)=ex-(x+1)>0, 即>1. 所以1-x-xln x≤1+e-2<(1+e-2).
因此,对任意x>0,g(x)<1+e-2. 8.(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f '(1)=g'(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3.
(2)记h(x)=f(x)+g(x). 当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,
h'(x)=3x2+2ax+a2.
令h'(x)=0,得x1=-,x2=-. a>0时,h(x)与h'(x)的情况如下:
-∞, x -h'(x) h(x) + ↗ 和
0 - -- -, - 0 .
-, +∞+ ↗ ↘ 所以函数h(x)的单调递增区间为;单调递减区间为
当-≥-1,即0 第25页 / 共 75页 曲一线科学备考 函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-a2. 当-<-1,且-≥-1,即2 当-<-1,即a>6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间上单调递增. 又因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)2>0, 所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h得b=-1. =1. 9.A 10.B 11. D 12.D 13.(1)由y=f(x)过(0,0)点, 由y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为,又y' x=0=x=0=+a,得a=0. (3分) (2)证明:证法一:由均值不等式,当x>0时,2 记h(x)=f(x)-,则h'(x)=+-=-<-=. 令g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当0 因此g(x)在(0,2)内是递减函数,又由g(0)=0,得g(x)<0,所以h'(x)<0. (10分) 因此h(x)在(0,2)内是递减函数,又h(0)=0,得h(x)<0. 于是当0 -1. . (12分) 由均值不等式,当x>0时,2 令k(x)=ln(x+1)-x,则k(0)=0,k'(x)=即ln(x+1) -1=<0,故k(x)<0, 由①②得,当x>0时, f(x) 记h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当0 第26页 / 共 75页 -9 曲一线科学备考 =[3x(x+1)+(x+6)(2+)-18(x+1)] <3x(x+1)+(x+6)3+-18(x+1) =(7x-18)<0. (10分) 因此h(x)在(0,2)内单调递减,又h(0)=0,所以h(x)<0,即f(x)<. (12分) 14. 15. 16. 17. 18.-4 19.2x-y+1=0 20.(Ⅰ) 如图PH⊥α, HB?α, PB⊥AB, 由三垂线定理逆定理知, AB⊥HB, 所以∠PBH是山坡面与α所成二面角的平面角, 则∠PBH=θ, PB==1. 设BD=x(km) , 0≤x≤1. 5, 则PD=记总造价为f1(x) 万元. =∈[1, 2) . 据题设有f1(x) =a =a =a+a. 当x=, 即BD=(km) 时总造价f1(x) 最小. (Ⅱ) 设AE=y(km) , 0≤y≤, 总造价为f2(y) 万元, 根据题设有f2(y) =a=a+a. 则f '2(y) =a, 由f '2(y) =0, 得y=1. 当y∈(0, 1) 时, f '2(y) <0, f2(y) 在(0, 1) 内是减函数; 当y∈ 时, f '2(y) >0, f2(y) 在内是增函数. 故当y=1, 即AE=1(km) 时总造价f2(y) 最小, 且最小总造价为a万元. 第27页 / 共 75页 曲一线科学备考 (Ⅲ) 解法一:不存在这样的点D'、E'. 事实上, 在AB上任取不同的两点D'、E'. 为使总造价最小, E'显然不能位于D'与B之间. 故可设E'位于D'与A之间, 且BD'=x1(km) , AE'=y1(km) , 0≤x1+y1≤, 总造价为S万元, 则S=-≥- a. 类似于(Ⅰ) (Ⅱ) 的讨论知, -≥, 当且仅当x1=, y1=1同时成立时, 上述两个不等式等号同时成立, 此时BD'=(km) , AE'=1(km) , S取得最小值a, 点D'、E'分别与点D、E重合. 所以不存在这样的点D'、E', 使沿折线PD'E'O修建公路的总造价小于(Ⅱ) 中得到的最小总造价. 解法二:同解法一得S=+( +y1) ]a+ a≥32 a=a+[3(3a+ a= -y1) a. 当且仅当x1=且3(-y1) =+y1, 即x1=, y1=1同时成立时, S取得最小值a, 以下同解法一. 21.(Ⅰ) 证明:由 题设得g(x) =e2x-t(ex+1) +x, g'(x) =2e2x-tex+1. 又由2ex+e-x≥2 , 且t<2 得t<2ex+e-x, 即 g'(x) =2e2x-tex+1>0. 由此可知, g(x) 为R上的增函数. (Ⅱ) 解法一:由题设得g(x) <0是g(x) 为减函数的充分条件, 可以只要找到实数k, 使得t>k时, g'(x) =2e2x-tex+1<0, 即t>2ex+e-x, 在闭区间[a, b]上成立即可. 因为y=2ex+e-x在闭区间[a, b]上连续, 故在闭区间[a, b]上有最大值, 设其为k, 于是在t>k时, g'(x) <0在闭区间[a, b]上恒成立, 即g(x) 在闭区间[a, b]上为减函数. 解法二:因为g'(x) <0是g(x) 为减函数的充分条件, 所以只要找到实数k, 使得t>k时, g'(x) =2e2x-tex+1<0, 在闭区间[a, b]上成立即可. 令m=ex, 则g'(x) <0(a∈[a, b]) 当且仅当2m2-tm+1<0(m∈[ea, eb]) . 而上式成立只需即 成立. 取2ea+e-a与2eb+e-b中较大者记为k, 易知当t>k时, g'(x) <0在闭区间[a, b]上恒成立, 即g(x) 在闭区间[a, b]上为减函数. (Ⅲ) 证法一:设F(t) =2t2-2(ex+x) t+e2x+x2+1, 即 第28页 / 共 75页
