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重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷
20 — 20 学年 第 学期
(A)?(x)?
11 (B) ?(y)?x2y211 (D) ?(x,y)?22x?yx?y命题人: 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:
(C)?(x,y)?考试方式：知识点:微分方程,积分因子,难度等级:1. 组题人 密 名姓 弊 作 绝 拒 、 纪 号考学肃严 、 信 守 实 级诚封年、 争 竞 平 公 班、业专 线 院学
考试时间: 120 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 答案: (C)
得 分 分析:当微分方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0不是全微分方程
时,若存在二元函数?(x,y),使得?(x,y)[M(x,y)dx?N(x,y)dy]?0考试提示 是全微分方程,则称?(x,y)为方程的积分因子.因此代入1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; (A),(B),(D)所给函数均不满足条件,因此应选(C).
2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他 人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍. 3. 设积分区域D由|x|?1,|y|?1确定,则??xecosxysinxydxdy?(). D (A)0 (B)e (C)2 (D)e?2
一、选择题(每小题3分,共18分)
知识点:二重积分对称性的使用,难度等级:1. 答案:(A)
1. 设向量a与三轴正向夹角依次为?,?,?,则当cos??1时有().
分析:积分区域关于y轴对称,被积函数为关于y的奇函数,积分(A) a?xoy面 (B) a//xoz面 值为0,选A.
(C) a?yoz面 (D) a?xoz面 知识点:向量与坐标面的位置关系,难度等级:1. 4．微分方程y???7y??(x?1)2用待定系数法确定的特解(不求系答案: (D)
数值)形式是().
分析:cos??1,??0,a与y轴正向夹角等于零,a?xoz面. 2. 方程ydx?(x2?y2?x)dy?0的积分因子为(A)().
y?x2(Ax?B) (B) y?x(Ax2?Bx?C)e7x (C)y?(Ax2?Bx?C)e7x (D)y?x(Ax2?Bx?C)
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: 审题人: 命题时间: 教务处制
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知识点:微分方程特解形式,难度等级:1. 答案: (D)
分析:原方程所对应的齐次方程为y???7y??0,其特征方程为??7???(??7)?0,其特征根为?1?0,?2?7.而
2(C)?0d??0rdr?32?R?R42 (D)0
知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:1. 答案:(C)
分析:被积函数自变量在园面内取,故A,B错误,C与D之一成立,上侧取正化为二重积分为C,计算结果不为0,不选D.
二、填空题(每小题3分,共18分)
ln(1?n3)7. 已知级数?收敛,则参数t的取值范围__________. tnn?1??).C故应选(x?1)2?(x?1)2e0?x,故方程的特解为y?x(Ax?Bx(D).
5. 下列各曲线中,绕y轴旋转而成的椭球面3x?2y?3z?1的曲线
). 是(2222?2x2?3y2?1(A) ? (B)
y?0??3x2?2y2?1(C) ? (D)
z?0??3y2?2z2?1 ?x?0??3x2?3z2?1 ?y?0?知识点:含参级数收敛,参数范围,难度等级:2. 答案: t?1.
?3lnnln(1?n3)3lnnt?1~,分析:在时收敛.故t?1. ?tntntnn?2知识点:旋转曲面对应的曲线方程,难度等级:2.
答案:(C)
?2x2?3y2?1?2x2?1分析:?可以写成?绕y?y?0?y?0?x?0轴旋转而成的旋转面为
3y2?2z2?1 绕y轴旋转而成的旋转面为2x2?3y2?2z2?1;2x2?2z2?1;???3x2?3z2?1?3x2?2y2?1222绕y轴旋转而成的旋转面为3x?2y?3z?1;?绕y?z?0?y?0?3x轴旋转而成的不是旋转面,而是它本身???2?3z2?1. .y?06. 设?为z?0(x2?y2?R2)的上侧,则??(x2?y2)dxdy?(?).
8. 两个平行平面19x?4y?8z?21?0和19x?4y?8z?42?0间的距离为__________.
知识点:两平面间的距离,难度等级:3. 答案:1.
分析:两个平行平面间的距离等于第一个平面内任一点(x0,y0,z0)到第二个平面的距离,即
d?19x0?4y0?8z0?4219?(?4)?8222(A)
2x?y?R??R22dxdy??R4 (B)?22x?y?R??R22dxdy???R4
?19x0?4y0?8z0?4221,
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其中19x0?4y0?8z0?21?0.即
19x0?4y0?8z0??21.
于是
d?19x0?4y0?8z0?4221??21?4221?1.
9.
?20dx?e?ydy=__________.
22x知识点:二重积分交换积分次序计算,难度等级:2. 答案:(1?e?4).
分析: 直接计算不行,交换积分顺序,可得所求.
t10. 设L是从点A??e?, 0, e? ?沿曲线x?etcost, y?e到点sint, z?te12?x???0?222?x?y?z?y? ?222?2??0.
?x?y?z?z????0222??x?y?z111解此方程组得x?,y?,z?.所以极小值等于
6631116()2?()2?()2?. 663612. ?为柱面x2?y2?a2被平面z?1和z?4所截得的在第一卦限内的部分,则??zdxdy?xdydz?ydzdx=__________.
?B?1 , 0 , 1?的弧段,则第二类曲线积分I?? xdx?ydy?zdz的值为
__________.
L知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3. 答案:?a2.
分析: 曲面可视为y?a2?x2(1?z?4)或x?a2?y2(1?z?4),
知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:I???e?1?.
2?32分析:xdx?ydy?zdz?1d(x2?y2?z2),
21??I?(x2?y2?z2)?1 , 0 , 1??1?e2??. ???e, 0, e ??211. 三元函数x2?y2?z2在约束条件x?y?2z?1下的极小值等于
__________.
知识点:三元函数的条件极值,难度等级:3. 答案:
6. 6322222zdxdy?xdydz?ydzdx?a?ydydz?a?xdzdx??a. ??????2?DyzDzx
三、计算题(每小题6分,共24分)
13. 计算曲线积分?Lxds,L为由直线y?x及抛物线y?x2所围成的区域的整个边界.
知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1.
分析:令f(x,y,z)?x2?y2?z2.由拉格朗日乘数法,在约束条件
x?y?2z?1下的极小值点满足方程组
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分析:直接化为定积分计算. 解: 整个边界可分为两部分,分别为:
L1:y?x2(0?x?1); L2:y?x(0?x?1).
解: f?(x)?1?1?2x?1????1?2x??2 1?4x2??2?4 2(1?2x) ?故
??2?(?4x2)n
n?0?Lxds??x1?4xdx??0121031212221?(55?1)?. 2xdx?[(1?4x)]0?12212214. 解方程xy??y?x2y2lnx.
知识点:微分方程,变量代换,难度等级:2 分析:注意(xy)??y?xy?,从而作代换u?xy, 解 :令u?xy,则u??y?xy?,代入方程可得
du?u2lnx dxdu1这是变量分离方程,即?2??lnxdx.解得??xlnx?x?C.
uu?11???(?1)n?122n?1x2n, x???,?.
?22?n?0?f(x)??f?(x)dx
???(?(?1)n?122n?1x2n)dx
n?0?(?1)n?122n?12n?1??x?C.
2n?1n?0??由f(0)???4知 C?.
4??故原方程的解为y(x)??1.
(ln(x)x?C?x)x(?1)n?122n?12n?111x, x?[?,]. ?f(x)???4n?02n?122?(?1)n?1
??1. ?令x?得:?24n?12n?1?(?1)n1?2x15. 将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数,并求级数?1?2xn?12n?1的和.
知识点:函数的幂级数展开,常数项级数求和,难度等级:2 分析:求导再展开,幂级数逐项积分.
??z3cos?dS)其中,16. 计算???(x3cos??y3cos?为曲面x2?y2?z2夹
在平面z?0及z?h(h?0)之间的部分,cos?,cos?,cos?为此曲面的外法线的方向余弦.
知识点:对面积的曲面积分,高斯公式,球坐标,难度等级:3
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