概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名：
第一章 概率论基础
一、填空题
1．设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7，若A，B互不相容，则P(B)? 0.3 ， 若A，B相互独立，则P(B)? 0.5 ．
2．设P(A1)?P(A2)?P(A3)?1，A1,A2,A3相互独立，则A1,A2,A3至少出现一个的概率
3为1927 ；A1,A2,A3恰好出现一个的概率为4 ；A1,A2,A3最多出现一个的概率为20927 ．
3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 ．
4．设在一次试验中，事件A发生的概率为p．现进行n次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为1??1?p? ；而事件A至多发生一次的概率为
n?1?p?n?np?1?p?n?1 ．
5．三个人独立破译以密码，他们能单独译出的概率分别为1,1,1，则此密码被译出的概率为
5340.6 ．
二、选择题
1．设A、B为两个事件，则(A?B)(A?B)表示 （ C ）． （A） 必然事件； (B) 不可能事件；
（C） A与B恰有一个发生； (D) A与B不同时发生．
2．对事件A、B，下列命题正确的是 （ D ）． （A） 如果A、B互不相容，则A、B也互不相容； （B） 如果A、B相容，则A、B也相容；
（C） 如果A、B互不相容，且P(A)?0，P(B)?0，则A、B相互独立； （D）如果A、B相互独立，则A、B也相互独立．
3．设AB?C，则 （ A ）． （A）AB?C；（B）A?C且B?C；（C）A?B?C；（D）A?C或B?C． 4．设A、B是任意两个事件，则P(A?B)? （ C ）． （A） P(A)?P(B)； （B） P(A)?P(B)?P(AB)； （C） P(A)?P(AB)； （D） P(A)?P(B)?P(AB)．
5．设A、B是任意两个事件，则一定有P(A?B)? （ D ）． （A） P(A)?P(B)； （B） P(A)?P(B)?P(A)P(B)； （C） 1?P(A)P(B)； （D） P(A)?P(B)?P(AB)．
三、计算与证明题
1．指明在下列各条件下，事件A，B，C之间的包含关系．
（1）若A和B同时发生，则C必发生；（2） A和B有一个发生，则C必发生； （3）若A发生，则B必不发生；（4） A和B同时发生的充分必要条件是C不发生； （5）A发生的充分必要条件是B不发生．
解 （1）AB?C，即积事件AB包含于事件C； （2）(AUB)?C，即和事件AUB包含于事件C； （3）AB??，即积事件AB为不可能事件；
（4）AB?C，即积事件AB等于事件C的对立事件C；
1
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（5）A?B，即积事件A等于事件B的对立事件B．
2．对任意的随机事件A,B,C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A)． 证明 因为A?(AB?AC)，所以
P(A)?P(AB?AC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)
3．将3个球随机地投入4个盒子中, 求下列事件的概率：
（1）A是任意3个盒子中各有1个球；（2）B是任意1个盒子中有3个球； （3）C是任意1个盒子中有2个球, 其它任意1个盒子中有1个球．
13C4C4?3?2?1?0.37，5， 解 ?1?P?A?? ?2?P?B??3?0.0625 344121C4C3C3?3?P?C???0.5625． 344．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任 意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0 , 1 , 2 , 3）．
解 （请自己作图结合图形阅读）一面涂有颜色的小立方体个数(8?8)?6=384， 其中8?8为大立方体每个表面含有此类小立方体的数目，6是大立方体的表面总数．
二面涂有颜色的小立方体个数小立方体被重复计算2 次．
三面涂有颜色的小立方体个数：8（即大立方体顶点个数）． 0 面涂有颜色的小立方体个数 1000?8?8?6?所以k?0,1,2,3的概率分别为
(8?4)?6?96，分子数值的由来与前相似，除以2 是因为每个此类2(8?4)?6?8?512． 2512384?0.512;p1?P{k?1}??0.384;10001000
968p2?P{k?2}??0.096;p3?P{k?3}??0.008.100010005．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求
p0?P{k?0}?线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．
1. 三线段能构成三角形，应有 2OB?OC?CA,OB?CA?OC, 11即 ?x?1?x, ?1?x?x.
2213解得 ?x?.
4413C点可在 [0,1] 上取，但构成三角形的点只能在 [,] 上取，故由几何概型可得所求概率为
4431?44?1． p?12解 设OC?x, 则 CA?1?x,OB?
C
O B A X
6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：
2
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（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；
（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．
解 （1）设Bi（i=0，1，2，3，4，5）表示1000个灯泡中有i个坏灯泡，A 表示任取的100个灯泡都是好灯泡，显然
P(B1C1001000?ii)?6，P(ABi)?C100，
10005100P(A)??P(B1C1000C100100100100100999C998C997C996C995i)P(ABi)?(i?06C100?C100?100?100?100?100)10001000C1000C1000C1000C1000 ?16?1?0.9?0.8099?0.7287?0.6557?0.5857? ?0.78.（2）根据贝叶斯公式：
P(B)P(A|B0)0|A)?P(B0?5
P(Bi)P(A|Bi)i?0?C1001000C100?C1001000999?C100?C100100100 998997?C996?C995?0.214．
7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“· ”及“—”．由于通信系统受到干 扰，当发出信号“· ”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“· ”及“—”；又当 发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“· ”．求： （1）收报台收到信号“· ” 的概率； （2）收报台收到信号“—” 的概率；
（3）当收报台收到信号“· ”时，发报台确系发出信号“· ”的概率； （4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．
解 本题是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式来求概率的例子．设A表示事件 “发出信号“ · ”，A表示事件发出信号“ — ”，B表示事件收到信号“ · ”，
B表示事件收到信号“ — ”， 由题意可得
P(B|A)?08.,P?B|A??0.2,P?B|A??0.9，P(BA)?0.1，
P(A)?0.6，P(A)?0.4，
于是根据全概率公式和贝叶斯公式
（1）P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.6?0.8?0.4?0.1?0.52 （2）P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.6?0.2?0.4?0.9?0.48 （3）P(AB)?P(A)P(BA)0.8P(B)?0.6?0.52?0.9231，
（4）P(AB)?P(A)P(BA)4?0.9P(B)?0.0.48?0.75．
8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到 达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时,求它 们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率． 解 设 甲乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x、y，则所有基本事件可表示为：
3
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0?x?24,0?y?24，
而“不需等候空出码头”的事件A必需满足条件：
?y?x?1， ??x?y?2可以用图中阴影面积：
1232?222? ?2表示，所有基本事件的面积为24，所以
2 Y O X 9题图 232?222P?A???0.879．
2?242第二章 随机变量
一、填空题
27?2?1．设随机变量X的概率分布为：P?X?k??c??,k?1,2,3，则c＝ ． 383?? 2．设随机变量X的概率密度为：
?kxb,0?x?1,(b?0,k?0), f(x)??
其他.?0,k1???0.75，则k = 2 ，b = 1 ． 2?3．已知随机变量X的分布函数为：F(x)?A?Barctanx，则A = 0.5 ； 11B =；P?X?1?? 0.5 ；概率密度f(x)? ． 2??(1?x)且P?X??? 4．设随机变量X的概率分布为：P?X?k??a?kk!其中??0为常数，则a＝,k?0,1,2,3,…， e?? ．
5．设随机变量X~N(10,0.022)，已知?(x)??x??1?x2edx， 2?2?(2.5)?0.9938，则X落在区间（9.95，10.05）内的概率为 0.9876 ．
126．设平面区域D由曲线y?及直线y?0,x?1,x?e所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D服
x从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为 0.25 ．
二、选择题
1．设连续型随机变量的密度函数和分布函数分别为f(x),F(x)，则下列选项中正确的是 （ B ）．
(A) 0?f(x)?1； (B) P{X?x}?F(x)； (C) P{X?x}?F(x)； (D) P{X?x}?f(x)．
x为随机变量X的概率密度，则随机变量X的可能取值充满区间 2．设f(x)?cos（ A ）．
(A) ?0,???????37???0,?； (B) ； (C) ； (D) ,??,??． ?????2??2??24?23．设随机变量X~N(?,?)，且P{X?c}?P{X?c}，则c = ( B )．
4
