【分析】
（1）根据T?A4??1可列出满足条件的A4.
（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的A4的个数.
（3）引进一个定义：1?i?j?n，有xi?xj，则称xi,xj为数列An的一个顺序对，可证明所有的An中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为
??n?n?1??n!，故可求其平均值. 4【详解】（1）因为T?A4??1， 故x1,x2,x3,x4只有一个逆序对， 则不同的A4分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.
（2）因为T?A4??2，故数列An：x1，x2，…，xn有两种情况： ①2对逆序数由3个元素提供，即
x1?x2?L?xi,xi?xi?1,xi?xi?2,xi?1?xi?2?L?xn，
3这样的An共有Cn?n?n?1??n?2?个.
6②2对逆序数由4个元素提供，即
x1?x2?L?xi?xi?1?xi?2?L?xj?xj?1?xj?2?L?xn.
4这样的An共有2Cn?n?n?1??n?2??n?3?.
122n?n?1??n?2?综上，满足T?An??2的数列An的个数为.
12（3）对任意的An：x1，x2，…，xn，其逆序对的个数为T?An?，
我们引进一个定义：1?i?j?n，有xi?xj，则称xi,xj为数列An的一个顺序对， 则An中的顺序对个数为
??n?n?1??T?An?. 2考虑An：x1，x2，…，xn与Bn：xn，xn?1，…，x1，
An中的逆序对的个数为Bn中顺序对的个数，An中顺序对的个数为Bn中逆序对个数，
把所有的An按如上形式两两分类，则可得所有的An中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为
n?n?1?n?n?1??n!，故逆序对的个数为?n!， 24所以所有T?An?的算术平均值为
n?n?1?.
4【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.
