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习题1 随机事件及其概率
习题解答
（A）
1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p．
解 以?表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则
p?P{??1}?1?P{??0}4C96 ?1?4?1?0.8472?0.1528．C1001.7 从0,1,2,…,10等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：A1={三个数最大的是5}；A2={三个数大于、等于和小于5的各一个}；A3={三个数两个大于5，一个小于7}．
33
解 从11个数中随机取出三个，总共有C11即总共有C11个基本事件，其中有利于A1?165种不同取法，22的取法有C5； ?10种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有C5?10种不同取法）
有利于A2的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；
2有利于A3的取法有5×C5在大于5的5个数中随意取两个)．于?70种(在小于5的5个数中随意取一个，
是，最后得
P(A1)?10??，P(A)?25?0.15??，P(A)?50?0.30??． ?0.06111651651651.10 从0,1,…,9中，随意取4个数字(允许重复)排成一列，结果恰好形成一个四位数．求下列事件的概率：A1={4个数字两两不等}；A2={此数是奇数}；A3={6至少出现一次}；A4 ={6恰好出现一次}．
解 考虑自总体??{0,1,…,9}的n?4次放回抽样．基本事件的总数N?9?103?9000：第一位数字（不为0）有9种选择，其余三位数字共有103种选择．分别以Nk(k?1,2,…,n)表示Ak所含基本事件的个数．
(1) N1?9?9?8?7?4536；
(2) N2?9?102?5?4500：第一位数字有9种、最后一位数字有5种、中间两位数字共有102种选择； (3) N3?9?103?8?93?3168，即基本事件的总数N减去A3的对立事件A3＝｛6不出现｝所含基本事件的个数；
(4) N4?93?3?8?92?2673：只有第一位数是6的共有93种情形，6只出现在第2,3或4位数上的情形各有8?92种；
于是，所求概率为
N1N?0.504； P(A2)?2?0.500；NN
NNP(A3)?3?0.352； P(A4)?4?0.297．NNP(A1)?
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1.13 假设电话号码为八位数(第一位数不为0)，求事件A1?{电话号码中不含0或9}和A2?{电话号码中含0不含9}的概率．
解 引进事件：B0={电话号码中不含0}，B9={电话号码中不含9}， A1?B0?B9?{电话号码中不含0或9}，A2?B9?B0?B9?B0B9．易见
988?9788P(B0)?， P(B9)?， P(B0B9)?．．
9?1079?1079?107(1) 由加法公式，可见
P(A1)?P(B0?B9)?P(B0)?P(B9)?P(B0B9)98?8?97?88??0.7170．9?107(2) 由减法公式，可见
8?9788P(A2)?P(B9?B0B9)?P(B9)?P(B0B9)???0.2387 ．
9?1079?1071.15 已知概率P(A)?p,P(B)?q,P(AB)?r．分别求下列各事件的概率：A?B，AB， A?B ，
AB,A(A?B)．
解 由事件运算的性质，易见
P(A?B)?1?P(AB)?1?r，P(AB)?1?P(AB)?1?r，P(AB)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]?1?[p?q?r]，
P(A?B)?1?P(A?B)?1?[p?q?r]，P(A[A?B])?P(A?AB)?P(A)?p．
1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率?．
解 引进事件：A?{取出的是白球}，H1?{箱中原来是白球}，H2?{箱中原来是红球}，则H1,H2构成完全事件组，并且P(H1)?P(H2)?0.5．由条件知
P(A|H1)?1，P(A|H2)?0.5． 由贝叶斯公式，有
??P(H1|A)?P(H1)P(A|H1)2?．
P(H1)P(A|H1)?P(H2)P(A|H2)31.19 在无线电通信中接连不断地发送信号0和1，其中0占60%，而1占40%．由于存在干扰，发送信号0时接收信号可能是0，1和x（模糊信号），概率相应为0．70，0．10和0．20；发送信号1时接收信号也可能是0，1和x，概率相应为0.85，0.05和0.10．问接收到模糊信号x时最好译成0还是1？
解 引进事件：H0={发送信号是0}，H1={发送信号是1}，Ak={接收信号为k}(k?0,1,x)，则
P(H0)?0.6，P(H1)?0.4；P(A0|H0)?0.70，P(A1|H0)?0.10，P(Ax|H0)?0.20； P(A0|H1)?0.05，P(A1|H1)?0.85，P(Ax|H1)?0.10．由贝叶斯公式，有
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P(H0|Ax)?P(H0)P(Ax|H0)?0.75； P(H0)P(Ax|H0)?P(H1)P(Ax|H1)P(H1|Ax)?1?P(H0|Ax)?0.25.．计算结果表明，在接收到模糊信号x时译成0比译成1为好．
1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试， 经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器
(1) 都能出厂的概率?； (2) 至少两台不能出厂的概率?．
解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设H1={仪器需要调试}，H2={仪器不需要调试}，A={仪器可以出厂}．由条件知
P(H1)?0.30， P(H2)?0.70，
P(A|H1)?0.80，P(A|H2)?1．(1) 10台仪器都能出厂的概率
?0?P(A)?P(H1)P(A|H1)?P(H2)P(A|H2) ?0.30?0.80?0.70?0.94 ；10???0?0.9410?0.5386．p=0.06．易见，10台中至少两台不能出厂的概率
(2) 记?——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为
??P{??2}?1?P{??0}?P{??1}1.23 设A,B是任意二事件，证明：
(1) 若事件A和B独立且A?B，则P(A)?0或P(B)?1；
?1?0.9410?10?0.949?0.06?0.1175．
(2) 若事件A和B独立且不相容，则A和B中必有一个是0概率事件． 证明 (1) 由于A?B，可见
P(AB)?P(A)P(B)，P(AB)?P(A)，P(A)?P(A)P(B)． 因此，若P(A)?0，则P(B)?1；若P(B)?0，P(A)?0．
(2) 对于事件A和B，由于它们相互独立而且不相容，可见
P(A)P(B)?P(AB)?0，
因此，概率P(A)和P(B)至少有一个等于0．
（B）
一、单项选择题
1.25 甲、乙两个篮球队进行比赛，假设有三种可能的结局：甲胜，乙胜与平局，考虑事件A={甲胜乙负}，则A=
(A) B1={甲负而乙胜}． (B) B2={甲和乙平局}．
(C) B3={甲胜或平局}． (D) B4={乙胜或平局}． [ ]
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分析 应填(D)．把“甲、乙两个篮球队比赛”视为随机试验E，其基本事件空间为??{?1,?2,?3}，其中
?1?{甲胜}，?2?{乙胜}，?3?{平局}．
事件A={甲胜乙负}?{?1}，因此A?{?2?3}，即A表示“B4={乙胜或平局}”．于是(D)为正确选项． 说明 题中事件B1,B2,B3,B4可以通过基本事件分别表示为：
B1?{?2},B2?{?3},B3?{?1?3},B4?{?2?3}． 1.26 设A,B,C是任意事件，满足AB?C，则 (A) A?C且B?C． (B) A?B?C．
[ ] (C) A?C 或B?C． (D) A?B?C．分析 (1) 直选法 因为根据条件AB?C．所以由事件运算的对偶律，可见
A?B?AB?C，
于是(B)是正确选项．
(2) 排除法 为说明选项(A)，(C)，(D)不成立，只需分别举出反例 ．例如，设A?C，B??，则
A?AB?C，但是A?C且B?C，从而选项(A)错误；
假设随机变量X在[?2,2]上均匀分布，引进事件
A???2?X?0?，B???2?X?1?，1?? C???2?X??，2??则显然AB?A?C，但是A?C，B?C，因此选项(C)不成立；
最后，对于选项(C)，若AB?A?B?C，则根据对偶律A?B?C，从而(D)也是错误选项． 于是，只有(B)是正确选项．
1.27 设A,B是任意二事件，则下列各选项中错误的选项是 ．．．．．
(A) 若AB??，则A,B可能不相容． (B) 若AB??，则A,B也可能相容．
(C) 若AB??，则A,B也可能相容． (D) 若AB??，则A,B一定不相容． [ ] 分析 应该选(D)．宜采用直选法确定符合题目要求的选项；如果用排除法，则需要对其中三个选项分别举出反例．
(1) 直选法 对于选项(D)容易举出反例．设A??，B??，A?B，则A?B．故AB?B?A??．然而A,B显然相容：AB?B??，因此产生矛盾，故(D)确实是题目所指的错误选项，从而应该选(D)．
(2) 排除法 只需举例说明(A)，(B)，(C)可能成立，即不符合题意的错误选项．例如，若A和B互为对立事件，即B?A，则AB??，且也互为对立事件，因此A和B不相容，故选项(A)成立；
设AB??且A?B??，那么假如A,B不相容：AB??，则
A?B?AB????，
而这与A?B??矛盾，可见A,B也相容，从而选项(B)成立；
设A,B不相容AB??但A?B??，那么若A,B不相容AB??，则A?B?AB??，这与
A?B??矛盾，可见A,B也相容，从而选项(C)成立．
