end
x_star=x1, iter=k %x1为解的近似值，iter为迭代次数 运行结果：x_star = -3.4911；iter =2
②在区间?0,1?内， clc
x1=0.5; %初值x1 k=0;
while k<=100 %k从0开始到100循环 x0=x1; %将初值x1赋给x0
f0=x0.^3-sin(x0)-12*x0+1; %计算f?x0? f1=3*x0.^2-cos(x0)-12; %计算f'?x0? x1=x0-f0/f1; %计算得到新的近似值x1
if abs(x1-x0)< 1.0e-6 %x1?x0与允许精度作比较 break; %条件x1?x0??成立，跳出循环 end
k=k+1; %条件x1?x0??不成立，k加1 end
x_star=x1, iter=k %x1为解的近似值，iter为迭代次数 运行结果：x_star =0.07696 ；iter =3
③在区间?3,4?内， clc
x1=3.5; %初值x1 k=0;
while k<=100 %k从0开始到100循环 x0=x1; %将初值x1赋给x0
f0=x0.^3-sin(x0)-12*x0+1; %计算f?x0? f1=3*x0.^2-cos(x0)-12; %计算f'?x0? x1=x0-f0/f1; %计算得到新的近似值x1
if abs(x1-x0)< 1.0e-6 %x1?x0与允许精度作比较 break; %条件x1?x0??成立，跳出循环 end
k=k+1; %条件x1?x0??不成立，k加1 end
x_star=x1, iter=k %x1为解的近似值，iter为迭代次数 运行结果：x_star =3.4101；iter =3
3、运行结果：
x???4,?3? x_star iter 14 2 x??0,1? x_star 0.7696 0.70696 x??3,4? x_star 3.4101 3.4101 iter 6 3 iter 10 3 一般迭代 牛顿法
—3.4101 —3.4911 4、结果分析：
从这题的结果可以看出，牛顿迭代法的迭代速度比一般迭代法的速度要快，牛顿法的迭代次数比较少。例如，求在??4,?3?的根时，一般迭代法迭代了14次（iter =14），而牛顿法只用了2次（iter =2）。
总而言之，一般迭代法是一种逐次逼近的方法，具有原理简单、编制程序方便等优点，但存在是否收敛和收敛速度的快慢等问题。
牛顿迭代法是一种特殊的迭代法，用于求方程的单根时具有2阶收敛。因此是一种求非线性方程解的好方法，还可以用于求重根和复根，而且可以推广到求非线性方程组的解.
二、解方程组直接法
1、已知
?4?8A???4??12对矩阵A做LU分解。
215?7210?? 836??61120?2、用追赶法解下述方程组Ax?b，并给出n=10的结果，其中
?21???7??121???5?????A??????b????????121????5???12???，??5??
1、杜利特尔分解法（直接三角分解法）：
设方程组Ax?b的系数矩阵A的各阶主子式det?Ak??0?k?1,2,?,n?，则可知该方程组存在唯一的杜利特尔分解：A?LU，其中
?1?lL??21????ln11ln2?lnn?1??u11???，U??????1??u12u22?u1n??u2n??.
???unn?我们记矩阵A的第i行第j列元素为aij，则矩阵U的第一行和L的第一列可由公式（1.1）求出：
?u1j?a1j,j?1,2,?,n,??l?ai1,i?2,3,?,n. （2.1） ?i1u11?再由公式（2.2）求出U的第k行?k?2,?,n?、L的第k列?k?2,?,n?1?元素：
k?1??ukj?akj??lkpupj,j?k,k?1,?,n,p?1??k?1 （2.2） ?aik??lipupk?p?1,i?k?1,k?2,?,n.?lik??ukk?
（1）算法步骤：
由于系数矩阵A的各阶主子式det?Ak??0?k?1,2,?,n?，则可知该方程组存在唯一的杜利特尔分解：A?LU。
① 利用公式（2.1）和（2.2）求出U和L的元素uki和lik。 ② 求解单位下三角形方程组Ly?b，即按公式
y1?b1,??k?1?y?b?ly,k?2,3,?,n （2.3）
?kkkjj?j?1? 求出y1,y2,?,yn。
④ 求解上三角形方程组Ux?y，即按公式
yn?x?,n?unn??n （2.4） ?yk??ukjxj?j?k?1,k?n?1,n?2,?,1?xk??ukk? 可求得方程组的解：xn,xn?1,?,x1。
（2）程序代码：
function [L,U]=LU(A)
A
[n,n]=size(A); %定义A为n?n阶矩阵 L=zeros(n,n); %矩阵L初始化 U=zeros(n,n); %矩阵U初始化 for i=1:n
