优化方案·课时作业 第7章 直线和圆的方程 高三数学作业33
第7章 直线和圆的方程
§7.1 直线的方程
π
1．直线xtan＋y＝0的倾斜角是( )
7ππA．－ B. 775π6πC. D. 77
π6
解析：选D.k＝－tan＝tanπ.
77
2．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0 C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
解析：选B.直线过P(1,4)，代入方程后舍去A、D，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C.
3．直线l经过第二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则( ) A．ksin α＞0 B．kcos α＞0 C．ksin α≤0 D．kcos α≤0
解析：选B.由已知直线l经过二、三、四象限?l的倾斜角α∈(90°，180°)，斜率k＜0，所以kcos α＞0.
4．(2009年高考安徽卷)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
3
解析：选A.所求直线的斜率为－. 2
3
∴y－2＝－(x＋1)．
2
5．(2011年山东名校信息优化卷)已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l在纵、横坐标上的截距之和大1，则这个三角形面积的最小值为( )
A．4 B．2＋6 C．4＋33 D．5＋26
xy1
解析：选D.设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则ab＝a＋b＋1，∵a＋b≥2ab，
ab2
1
∴ab≥2ab＋1，即(ab)2－4ab－2≥0，解得ab≥2＋6， 2
11
∴ab≥×(2＋6)2，当a＝b＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋26. 22
1
6．(2011年福州市质检)已知曲线y＝上一点A(1,1)，则该曲线在点A处的切线方程为___．
x
11
解析：y′＝()′＝－2，故曲线在点A(1,1)处的切线的斜率为－1，故所求的切线方程
xx
为y－1＝－(x－1)，即为x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
7．已知{an}是等差数列，a1＝15，S5＝55，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为___．
a1＋a1＋4d
解析：S5＝×5＝55?d＝－2，知a2＝13，a4＝9，所以过点P(3，a2)，Q(4，
2a4－a2
a4)的直线的斜率为＝9－13＝－4.
4－3
答案：－4
11
8．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
abxy22111
解析：A、B、C三点共线，则B、C所在直线的方程为＋＝1，故有＋＝1.∴＋＝. ababab2
1答案：
2
9．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边上的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为 y－1x－2
＝，即x＋2y－4＝0. 3－1－2－2
(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则 2－21＋3x＝＝0，y＝＝2.
22
xy
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，
－32
即2x－3y＋6＝0.
1
(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由斜截式得直线DE的方
2
程为y＝2x＋2.
10．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点． (1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程； (2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程． 解：设直线l的斜率为k.
依题意，l的斜率存在，且斜率为负． 则：y－4＝k(x－1) (k<0)．
4
令y＝0，可得A(1－，0)；
k
令x＝0，可得B(0,4－k)．
4(1)|PA|·|PB|＝ ??2＋16·1＋k2
k
4
＝－(1＋k2)
k1
＝4[()＋(－k)]≥8(k<0)．
－k
1
∴当且仅当＝k且k<0即k＝－1时，
k
|PA|·|PB|取最小值．
这时l的方程为x＋y－5＝0.
44
(2)|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k)＝5－(k＋) kk4
＝5＋(－k＋)≥5＋4＝9.
－k
4
∴当且仅当－k＝且k<0，
－k
即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时l的方程为2x＋y－6＝0.
y
11．(探究选做)已知实数x、y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求的最大值与最小值．
x
解：如图所示，由已知，点P(x，y)在线段AB上运动，其中A、
y
B两点的坐标分别为A(2,4)、B(3,2)，的几何意义是直线OP的斜率．因
x
2
为kOA＝2，kOB＝，
3
y2
所以的最小值为，最大值为2.
x3
作业34
§7.2 两条直线的位置关系
1．(2009年高考上海卷)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2 解析：选C.∵l1∥l2，
∴－2(k－3)－2(k－3)(4－k)＝0，(k－3)(5－k)＝0， ∴k＝3或5.
3
2．过点(1，)且与直线x－3y＝0所成角为60°的直线方程为( )
3
A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y＋2＝0 C．x＝1 D．x＋3y－2＝0或x＝1
解析：选D.作图可知x＝1符合条件，又由对称性知应为两条，故应选D.
3．(2011年湖南省十二校联考)已知过A(－1，a)、B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为( )
A．5 B．2 C．－10 D．17
a－8
解析：选B.k＝2＝，∴a＝2.
－1－a
4．设两直线(m＋2)x－y－m－2＝0，x＋y＝0与x轴围成三角形，则( ) A．m≠－2，m≠－3 B．m≠－2，m≠－1 C．m≠－3，m≠－1 D．m≠－2，m≠3 解析：选A.两两相交且不可共点 由m＝－2时均过(0,0)，排除C；
而m＝－3时有两条平行，排除B，D.
5．(2011年遵义市调研)若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 解析：选B.圆心O(1,0)，∴OP⊥AB.
－1
kOP＝＝－1，∴kAB＝1，过P(2，－1)
1
∴AB：y－(－1)＝(x－2)，即x－y－3＝0.
6．直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0垂直，则其交点坐标为________．
??2x＋y＋2＝0，a1
解析：依题意得－＝，a＝－2.解方程组?得x＝－1，y＝0，即两直
42?－2x＋4y－2＝0.?
线的交点坐标是(－1,0)．
答案：(－1,0)
7．已知点A(1，－1)，点B(3,5)，点P是直线y＝x上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标是________．
解析：要使|PA|＋|PB|的值最小，P为AB与y＝x的交点时取得：直
??y＝3x－4，y＋1x－1
线AB：＝，∴y＝3x－4.由?解得P(2，2)．
5＋13－1?y＝x.?
答案：(2,2)
8．(2010年高考山东卷)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
解析：设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r＝|x0－1|.圆心到直线l的距
|x0－1||x0－1|2
离为d＝.由弦长为22可知：()＝(x0－1)2－2，
22
整理得(x0－1)2＝4， ∴ x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．
因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．已知两直线l1：x＋2＝0，l2：4x＋3y＋5＝0及定点A(－1，－2)，求过l1、l2的交点且与点A的距离等于1的直线l的方程．
解：先利用“过l1、l2的交点”写出直线系方程，再根据“l与A点距离等于1”来确定参数．过l1、l2交点的直线系方程是x＋2＋λ(4x＋3y＋5)＝0，λ是参数．化为(1＋4λ)x＋3λy＋(2＋5λ)＝0①，由
|－1×?1＋4λ?＋?－2?×3λ＋?2＋5λ?|
＝1，
?1＋4λ?2＋?3λ?2得λ＝0.代入方程①，得x＋2＝0.因为直线系方程①中不包含l2，所以应检验l2是否也符
|－4－6＋5|
合已知条件．因A(－1，－2)到l2的距离为＝1，l2也符合要求．
42＋32故直线l的方程为x＋2＝0和4x＋3y＋5＝0.
10．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
???x－2y＋5＝0，?x＝－1，?解：由得? ?3x－2y＋7＝0.?y＝2.??
∴反射点M的坐标为(－1,2)．
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点
2y0P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.
3x0＋5
x0－5y0而PP′的中点Q的坐标为(，)，
22
Q点在l上，
x0－5y0∴3·－2·＋7＝0.
22y02
＝－，
3x0＋5
由
3
?x－5?－y0＋7＝0.20
???
