导数真题再现
1．若函数f（x）＝ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝2x+1，则a＝（ ） A．﹣1 2．函数f（x）＝
B．0
C．
D．1
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ） A．y＝﹣2x
B．y＝﹣x
﹣1
C．y＝2x D．y＝x
4．若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）exA．﹣1
B．﹣2e3
﹣
的极值点，则f（x）的极小值为（ ） C．5e3
﹣
D．1
5．若函数f（x）＝x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ） A．[﹣1，1]
B．[﹣1，]
C．[﹣，]
D．[﹣1，﹣]
二．填空题（共13小题）
6．已知函数f（x）＝exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 ．
7．若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ．
8．曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为 ．
9．已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
10．曲线y＝（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a＝ ． 11．曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 ．
1
12．若曲线的切线l与直线平行，则l的方程为 ．
13．已知a∈R，设函数（fx）＝ax﹣lnx的图象在点（1，（f1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ． 14．曲线y＝x2+在点（1，2）处的切线方程为 ．
15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是 ．
16．已知（fx）为偶函数，当x≤0时，（fx）＝e
﹣x﹣1
﹣x，则曲线y＝（fx）在点（1，2）处的切线方程是 ．
17．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝ ． 18．已知函数f（x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝ ． 三．解答题（共22小题）
19．设函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围． 20．已知函数f（x）＝（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a＝0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0； （2）若x＝0是f（x）的极大值点，求a． 21．已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．
（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0．
22．已知函数f（x）＝．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程； （2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0． 23．已知函数f（x）＝ex﹣ax2．
（1）若a＝1，证明：当x≥0时，f（x）≥1； （2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a． 24．已知函数f（x）＝
﹣lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2； （Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y＝kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点． 25．已知函数f（x）＝x3﹣a（x2+x+1）． （1）若a＝3，求f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点．
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26．已知函数f（x）＝﹣x+alnx． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：27．已知函数f（x）＝ax3﹣3（a+1）x2+12x． （1）当a＞0时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）当a≤0时，讨论方程f（x）＝0实根的个数． 28．已知函数f（x）＝ex（ex﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 29．设函数f（x）＝（1﹣x2）ex． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 30．已知函数f（x）＝excosx﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值．
＜a﹣2．
31．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2＜f（x0）＜22． 32．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣
﹣2．
﹣
﹣
33．已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 34．已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+
）…（1+
）＜m，求m的最小值．
35．已知函数f（x）＝x3﹣ax2，a∈R，
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）设函数g（x）＝f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极
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值．
36．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围． 37．（Ⅰ）讨论函数f（x）＝
ex的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）ex+x+2＞0；
（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）＝求函数h（a）的值域．
38．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点． （Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2． 39．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 40．已知函数f（x）＝x3+ax+，g（x）＝﹣lnx （i）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；
（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
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