第6章 波动光学（Ⅲ）——光的偏振
一．基本要求
1．理解光的偏振的概念，光的五种偏振态的获得和检测方法； 2．掌握马吕斯定律及其应用；
3．掌握反射光和折射光的偏振，掌握布儒斯特定律及其应用； 4．了解光的双折射现象； 5．了解偏振光的应用。
二．内容提要和学习指导
（一）光的五种偏振状态：自然光、线偏振光、部分偏振光、椭圆偏振光和圆偏振光。 （二）线偏振光的获得和检验 1．线偏振光的获得：
①利用晶体的选择性吸收，可以制造偏振片。偏振片可用作起偏器，也可用作检偏器。 ②利用反射和折射偏振。布儒斯特定律：自然光在两种介质的界面发生反射和折射时，一般情况下，反射光和折射光都是部分偏振光，在反射光中，垂直入射面的光振动较强，在折射光中，平行入射面的光振动较强。当自然光以布儒斯特角ib?tann21入射（或
?1i?????/2，或反射光线垂直于折射光线）时，反射光是线偏振光，其光振动垂直于入射
面，此时折射光仍然是部分偏振光。
③利用晶体的双折射。一束光射入各向异性介质时，折射光分成两束。其中一束光遵守折射定律，称为寻常光（o光）。另一束光不遵守折射定律，称为非常光（e光）。 o光和e光均是线偏振光。o光的振动方向垂直于o光的主平面，e光的振动方向在e光的主平面内。光线沿光轴方向入射时，o光和e光的传播速度相同。在晶体内，o光的子波波面为球面波，e光的子波波面为旋转椭球面，利用惠更斯原理作图，可确定o光和e光的传播方向。 利用晶体的双折射现象，可以制造偏振棱镜和波片。
2．线偏振光的检验：①利用偏振片：由马吕斯定律可得，线偏振光经过检偏器后，出射光强I与入射光强I0的关系为：I?I0cos?，其中?是入射线偏振光偏振方向和偏振片通光方向的夹角。②利用反射和折射偏振。③利用偏振棱镜。
（三）圆偏振光或椭圆偏振光的获得和检验：线偏振光经过四分之一波片后出射的为椭圆偏振光，当平面偏振光的振动方向与四分之一波片的光轴方向成450角时，出射的为圆偏振光。平面偏振光经过二分之一波片后，出射的仍为平面偏振光。四分之一波片结合检偏器可检验圆偏振光和椭圆偏振光。
（四）偏振光的应用：①应用偏振光的干涉。利用晶片和检偏器可以使偏振光分成振动方向相同、相差恒定的相干光而发生干涉。②应用应力双折射。某些非晶体物质在机械力作用下拉伸或压缩时，就会获得各向异性的性质。③应用旋光效应。④应用电光效应。⑤应用磁光效应。
2三．习题解答和分析
6.1．自然光通过两个偏振化方向间成60?角的偏振片，透射光强为I1。现在这两块偏振片之间再插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30?角，透射光强为多少？
【解】设入射的自然光光强为I0，则
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11I0?cos260??I0； 2819922插入第三块偏振片之后，透射光强为：I2?I0?cos30??cos30??I0?I1。
2324未插入第三块偏振片时，透射光强为：I1?6.2．自然光入射到两个相互重叠的偏振片上。（1）若透射光强为透射光最大强度的三分之一，求两个偏振片的偏振化方向之间的夹角；（2）若透射光强为入射光强度的三分之一，再求两个偏振片的偏振化方向之间的夹角。
【解】设入射的自然光光强为I0，则透射光强为
I2?11I0?cos2?→I2max?I0→ 22（1）
1111?54.74?； I0?cos2????I0→???cos?12323211?35.26?。 I0?cos2?????I0→????cos?1323（2）
6.3．一束光是自然光和线偏振光的混合光，当它通过一偏振片后，发现透射光强与偏振片的取向有关，最大光强是最小光强的5倍。问：入射光束中两种光的光强各占几分之几？
【解】设入射的混合光中，自然光的光强为In，线偏振光的光强为Ip，则透射光强为：
1； In?Ipcos2?（其中?为线偏振光振动方向与偏振片偏振化方向之间的夹角）
21115→Imax?In?Ip，Imin?In；→In?Ip?In→Ip?2In
2222I?IpIn12→?，?。 In?Ip3In?Ip36.4．用哪些方法可以获得线偏振光？
【答】要由自然光获得线偏振光，有三种方法：①利用晶体的选择性吸收；②利用光的反射；③利用晶体的双折射。
6.5．有一束光，它可能是线偏振光，也可能是部分偏振光，还可能是自然光。你如何用实验判定这条光究竟是哪一种光？
【答】如图所示，将这束光垂直入射到偏振片上，旋转偏振片，同时观察透射光强的变化。若透射光强不变，则入射光是自然光；若透射光强变化，但无消光现象，则入射光是部分偏振光；若透射光强变化，且有消光现象，则入射光是线偏振光。
6.6．有两个共轴的理想偏振片，其偏振化方向相互正交。在这两个偏振片之间插入第三个共轴的偏振片。第三个偏振片以匀角速度?绕其轴线旋转。一束自然光沿轴线方向垂直入射，光强为I0。试证明透射光强为 I?I0(1?cos4?t)/16
【证】I?入射光 透射光
偏振片 11I0?cos2??cos2(90???)?I0?cos2??sin2? 22?1111I0?(2cos??sin?)2?I0?sin22??I0?(1?cos4?) 8882 179
令???t→I?1I0?(1?cos4?t)。 证毕 166.7．在如图所示的各种情况下，光由空气射入介质，ib线，并用点和横线标出反射线和折射线的振动方向。
【答】由菲涅尔公式和布儒斯特定律画出反射光和折射光如右图。
6.8．一束自然光和一束线偏振光分别通过
?arctann，i?ib。试画出反射线和折射
1/4波片，其出射的光各为什么偏振状态？一束自然光和一束线偏振光分别通过1/2波片，
其出射的光又各为什么偏振状态？
【解】一束自然光通过1/4波片后，其出射的光仍然是自然光；一束线偏振光通过1/4波片后，其出射的光可能是椭圆偏振光或圆偏振光，也可能是线偏振光；一束自然光通过1/2波片后，其出射的光仍然是自然光；一束线偏振光通过1/2波片后，其出射的光仍然是线偏振光。
??i????b i (a) (b) ??i???b (c) ???i???? ib ????i????(f) (d) (e) 题6.7图
6.9．某晶体对波长为6328A的光的主折射率分别为no = 1.66，ne = 1.49。若要将此晶体制成适用于该波长的四分之—波片，所用晶片的厚度至少要多少？该四分之一波片的光轴方向如何？
【解】设四分之一波片的厚度为d→
o(no?ne)d?(2k?1)?4→d?(2k?1)?4(no?ne)
→dmin6328?10?10???9.31?10?7(m)； 4(no?ne)4?(1.66?1.49)?该四分之一波片的光轴方向应该与波片平面平行。
6.10．有两个共轴的理想偏振片P1和P2，其偏振化方向相互正交。一束自然光沿轴线方向垂直入射，没有光线透过P2。在这两个偏振片之间插入一块共轴的波晶片，发现P2后面有光出射。当P2绕入射光线沿顺时针方向转过20o后，视场全暗。此后，把波晶片也绕入射光线沿顺时针方向转过20o，视场又亮了。问：(1)这是什么性质的波晶片；(2) P2要转过多大角度，才能使P2的视场又变为全暗。
【答】（1）自然光透过P1后变为线偏振光，其光振动方向平行于P1的偏振化方向。插入波片后旋转P2，出现了消光现象，说明插入的不可能是1/4波片或全波片，只能是1/2波片。
P2 的 偏 振 化 方 向 P1的偏振化方向 光 振 动 方 向
波片的光轴方向
（2）开始时，1/2波片的光轴方向与P1的偏振化方向夹角为10o，从波片出射的仍然是线偏振光，其光振动方向与P1的偏振化方向夹角为20o，有光线透过P2。把P2顺时针转过20o，则视场全暗。此后，把波片也顺时针转过20o，则透过波片的光振动方向与P1的偏振化方向夹角为：（10o+20o）×2= 60o。此时，若要使得P2的视场再次变为全暗，必须把P2顺时针旋转，转过的角度为：60o-20o=40o。
6.11．单色平行自然光垂直入射在杨氏双缝干涉装置上，屏幕上出现干涉条纹，其中A、C两点对应零级亮纹和一级暗
S1
S 2S2
P
题6.11图
??C ?B ?A
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纹。试问：(1)若在双缝后放—理想偏振片P，干涉条纹的位置、宽度有何变化？A、C两点的光强有何变化？(2)在一条缝的偏振片后放置一半波片，其光轴与偏振片的透光方向成45?角，屏上有无干涉条纹？屏上各点的光强如何？
【答】（1）透过偏振片的两束光是相干的线偏振光，光强是原来的一半。所以干涉条纹的位置、宽度没有任何变化。
A点的光强是原来的一半；
（2）由于在偏振片后的S1处放置了一片半波片，其光轴与偏振片透光方向成45?角，所以从S1出射的光也是线偏振光，其光振动方向转过了90?。因此，两束光在屏幕上相遇时，光振动方向相互垂直，不能产生干涉现象，屏上无干涉条纹。屏上各点的光强是两束光到达该点的光强之和，在A点附近的较小范围内，各点光强基本相同。
6.12．一束圆偏振光，(1)垂直入射到四分之一波片上，求透射光的偏振状态；(2)垂直入射到二分之一波片上，求透射光的偏振状态。
【解】（1）一束圆偏振光垂直入射到四分之一波片上，透射光为线偏振光；
（2）一束圆偏振光垂直入射到二分之一波片上，透射光为圆偏振光，但旋转方向与入射光相反。
6.13．在两个偏振化方向相互平行的共轴偏振片之间插入一块厚为0.01mm的方解石晶片，晶片表面与偏振片表面平行共轴，晶片光轴方向与偏振化方向成?= 1.6584 - 1.4864 = 0..172）
【解】如图所示，设从P1出射的线偏振光振幅为E0，进入波片之后，分解为o光和e光，其振幅分别为：Eo1?45o角。若以可见光(波长?? 4.0?10-7 ~
C7.6?10-7m)垂直入射，试问哪种波长的光被第二块偏振片阻止？（设晶片对各种波长的可见光，均有no - ne
P1P2?E0sin?，Ee1?E0cos?；
?(no?ne)d?2?/?
Ee1E0透过波片后，它们之间的相位差为：???Ao2Eo1Ae2透过P2后，o光和e光在P2的偏振化方向的分振动的振幅分别为：
Eo2?Eo1sin??E0sin2?，Ee2?Ee1cos??E0cos2?；
上述两个分振动的相位差仍然为：???(no?ne)d?2?/?；
两个同频率、同振向的分振动合成后，合振幅的平方为：
2224422E2?Eo2?Ee2?2Eo2Ee2cos???E0(sin??cos??2sin?cos??cos??) 2?E0[sin4??cos4??2sin2?cos2??2sin2?cos2??(1?cos??)] 2?E0[1?sin22??sin2(??/2)]
由于 令E??45o，所以 E2?E02cos2(??/2)；
?0→???(2k?1)?→2(no?ne)d?(2k?1)?
2(no?ne)d2?0.172?0.01?10?33.44?10?6??(m)； →??2k?12k?12k?1令：k?6；k?1→??1.147?10m（舍去）； ?0→??3.44?10?6m（舍去）
k?2→??6.880?10?7m；k?3→??4.914?10?7m；k?4→??3.822?10?7m（舍去）
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6.14．一单轴晶体，光轴平行于界面且在入射面内，平行自然光以入射角i照射晶体，o光和e光的折射角分别为?o和?e，晶体的主折射率分别为no和ne。试证明：
【解】用惠更斯原理作图法作出如图示光路图。由图可知： （1）AB ?OBsini?v??t，OC?OBsin?o?vo??t；
→tan?oA i OC D y B x 光轴
tan?ene。
?tan?onon sinivn→??osin?ovon?n?sinin?nsini2o22 ①
x2y2（2）e光对应的椭球面方程为：()?()?1
vo??tve?t→(nox)2?o ?ene,no?(ney)?(c??t)?(n?OB?sini)222 ②
o光 e光 22noxnoxydy??2；→BD的切线方程为：??2→切线BD的斜率为：dxneyneyx?OB ③
n2n22由②和③式解出D点的坐标为：xD?2?OB?sini，yD??OB?sini?no?n2sin2inoneno→tan?e；?xDnen?sini??2yDnono?n2sin2i ④
由①和④式可得：
tan?ene?tan?ono 证毕
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