第2课时 参数方程
考情考向分析
了解参数的意义，重点考查直线参数方程
及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查．在高考选做题中以解答题的形式考查，属于低档题．
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1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出
??x＝f?t?，另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么?
?y＝g?t??
就是曲线的参数方程．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 普通方程 参数方程 y－y0＝tanα(x－直线 π??x0)?α≠? 2??错误!(t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 错误!(θ为参数) 2
椭圆 抛物线
x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2＝2px(p>0) 错误!(φ为参数) 错误!(t为参数)
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
??x＝f?t?，
(1)参数方程?
?y＝g?t??
中的x，y都是参数t的函数．( √ )
?π??x＝x0＋tcosα，?(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α?α≠?的直线l的参数方程为?
2???y＝y0＋tsinα?
(t为参
数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段
M0M的数量．( √ )
??x＝2cosθ，
(3)方程?
?y＝1＋2sinθ?
(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )
??x＝2cost，
(4)已知椭圆的参数方程?
?y＝4sint?
π
(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O3
为原点，则直线OM的斜率为3.( × ) 题组二 教材改编
??x＝－1＋cosθ，
2．[P56习题T2(2)]曲线?
?y＝2＋sinθ?
(θ为参数)的对称中心为________．
答案 (－1,2) 解析 由?
?x＝－1＋cosθ，?
??y＝2＋sinθ，
?cosθ＝x＋1，?
得???sinθ＝y－2.
3
所以曲线对应的直角坐标方程为(x＋1)＋(y－2)＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)．
??x＝1－2t，?3．[P57习题T6]已知直线l1：??y＝2＋kt22
??x＝s，
?(t为参数)与直线l2：??y＝1－2s
(s为参数)
垂直，求k的值．
k4＋kk解 直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；
222
直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.
∵l1与l2垂直，∴?－?×(－2)＝－1，解得k＝－1.
?2?题组三 易错自纠 4．直线l的参数方程为?
?x＝1＋t，?
??y＝2－3t?k?
(t为参数)，求直线l的斜率．
解 将直线l的参数方程化为普通方程为
y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.
??x＝－2＋cosθ，
5．设P(x，y)是曲线C：?
?y＝sinθ?
(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求的yx取值范围．
??x＝－2＋cosθ，
解 由曲线C：?
??y＝sinθ2
2
(θ为参数)，
得(x＋2)＋y＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆．
yy表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，xx即圆心到直线的距离d≤r，所以|－2k|1＋k≤1，解得－2
33
≤k≤， 33
所以的取值范围为?－yx??33?，?. 33?
?x＝2cosθ，π???6．已知直线l的极坐标方程为ρsin?θ－?＝3，曲线C的参数方程为?
3????y＝2sinθ
(θ为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值． π?3?1??解 由ρsin?θ－?＝3，可得ρ?sinθ－cosθ?＝3，
3??2?2?∴y－3x＝6，即3x－y＋6＝0.
??x＝2cosθ，
由?
?y＝2sinθ，?
得x＋y＝4，圆的半径为r＝2，
22
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