第10课时 函数单调性的应用
1.会利用作差法判断或证明函数的单调区间. 2.能根据函数的单调性求函数的最值及函数的值域.
基本函数的单调性可以根据函数的图象归纳其单调性,那么还有很多函数不是基本函数,而是由几个基本函数通过加减等各种运算复合而成的,它们的图象我们并不熟悉,那么这类函数的单调性怎么判断?
问题1:(1)比较两个数a,b的大小可以通过作差来判断,即a-b<0? ,a-b=0? ,a-b>0? ,形如这样比较大小的方法称为作差比较法.
(2)判断函数f(x)在区间D上的单调性,可以先给出区间D上的任意两个数x1,x2,假设x1 f(x1)-f(x2),通过化简、因式分解(若有分母,则先通分)等方法进行变形,判断出f(x1)-f(x2)的符号,若f(x1)-f(x2)<0 恒成立,则f(x)在区间D上是 ,若f(x1)-f(x2)>0恒成立,则f(x)在区间D上是 , 以上通过作差法判断单调性的步骤可以简化为3个环节,即作差→变形→定号. 问题2:函数的最大值与最小值是如何定义的? (1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有 ;②存在x0∈I,使得 .那么,称M是函数y=f(x)的最大值. (2)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有 ;②存在x0∈I,使得 ,那么,称M是函数y=f(x)的最小值. 问题3:函数最值定义中的不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又有什么特征? f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数 ;这个函数的图象特征是有 ,并且最高 点的 是M. f(x)≥M反映了函数y=f(x)的所有函数值不小于实数 ;这个函数的图象特征是有 ,并且最低 点的 是M. 问题4:函数的值域与最值有何区别? (1)函数的值域是一个集合,而函数的最值属于这个集合. (2)函数的值域一定存在,但函数并不一定有最大(小)值.例如,函数y=,x∈(0,+∞)的值域为(0,+∞),它并不存在最大(小)值. 1.若a>b>1,M=a+,N=b+,则M,N的大小关系是( ). A.M>N B.M=N C.M 2.已知函数f(x)=ax+b在R上是增函数,那么函数f(x)=x2+2ax+b在(0,+∞)上的单调性是( ). A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 3.函数y=-3x2+2在区间[-1,2]上的最大值为 . 4.求函数f(x)= 的最大值. 函数单调性的判断与证明 利用函数单调性的定义,证明函数f(x)= 利用单调性求函数的值域或最值 求函数y= 应用问题中的最值问题 当季节交替时,季节性服装价格也会有一定的变化.设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后当季节即将过去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装不再销售. (1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式. 在区间[3,7]上的最大值和最小值. 在区间[0,+∞)上是增函数.