演绎证明：
怎样才算严格的数学证明？
例1：我们分别用下列三种方法来导出“对顶角相等” 一、是直观说明，即凭眼睛看到的结果就加以认定。
二、是操作确认，可以用量角器度量两个对顶角，也可以把两个对顶角剪下来相叠，由度量
所得数据基本相同或叠在一起基本重合就加以确认。 三、是推理论证（演绎推理）表述如下：
因为 ∠1与∠2、∠2与∠3分别是邻补角（已知），
所以 ∠1+∠2 = 180°，∠2+∠3 = 180°（邻补角的意义） 得 ∠1+∠2 =∠2+∠3（等量代换） 所以 ∠1=∠3（等量代换）
问：三种方法中，哪一种最可靠、最有说服力？
小结：
1、演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法，演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，在本书中，演绎证明简称证明（proof） 2、推理的依据，可以是已知条件和已证事项（简称为已知和已证），也可以是已有的概念、性质等
3、整个证明由一段一段的因果连接而成
例2：几种不同类型的因果关系： 1、一因一果
例如：∵∠1与∠2是对顶角（已知） ∴∠1 = ∠2（ ） 又如：∵∠1与∠2互为余角（已知） ∴∠1+∠2 = 90°（互余的定义）
2、一因多果
如图，两条平行线a与b被第三条直线c所截 ∵ a // b
∴ ∠2 = ∠4 （ ） ∠1 = ∠4 （ ）
∠3 + ∠4 = 180°（ ）
3、多因一果
如图，∵AB⊥EF于G，CD⊥EF于H （ ） ∴AB // CD （ ）
总结：通常证明是由若干个推理组成，即有多层因果关系，从整体上看，前一段中的果为后一段提供了因，一连串这样连贯、有序的因果关系组成了完整的证明。
练习:：
你能通过自己的思考，各举出一个“一因一果”、“一因多果”及“多因一果”的例子吗？
例3：如果，∠1 = 60°，∠2 = 60°，∠3 = 57°，则∠4 = 57°，下面四种推理过程，你认
为正确的是（ ）
A ∵∠1 = 60°=∠2 B ∵∠4 = 57°=∠3 C ∵∠2 =∠5 ∴ a // b ∴a // b 又∠1 =60°，∠2 = 60° ∴ ∠4 = ∠3 = 57° ∴ ∠1 =∠2 = 60° ∴ ∠1 =∠5 = 60° ∴ ∠4 =∠3 = 57° D ∵ ∠1 = 60°，∠2 = 60°，∠3 = 57°
∴ ∠1 —∠3 =∠2 —∠4 = 60°— 57°= 3° ∴ ∠4 = 57°
练习：阅读下面的证明过程，在括号内填写适当的理由，并在横线部分说明因果关系 如图，已知∠B = 50°，∠1 = 50°，AB = AC，求证∠1 = ∠2 证明：① ∵∠B = 50°，∠1 = 50°（ ）_____________ ∴∠B = ∠1（ ）________________ ② ∵∠B = ∠1（ ）________________ ∴AE // BC（ ）________________ ③ ∵AE // BC（ ）________________
∴∠C =∠2（ ）________________
④ ∵AB = AC（ ）________________ ∴∠B =∠C（ ）________________
⑤ ∵∠B =∠C，∠B =∠1，∠C =∠2（ ）________________ ∴ ∠1 = ∠2（ ）________________
提示：初学证明时，为了更好地掌握推理的方法，并且保证推理有根有据，层次分明，要把每一段推理的因果关系都明确无误地写出来，若能经常这样思考，无疑对提高思维的条理性、证题的准确性是十分有帮助的。
例4：写出下题的证明过程，并且仿照上面解答题的形式说明因果关系。
如图，已知：∠C = 70°，∠2 = 70°，EF // AB 求证：∠B = ∠1
公理、命题、定理 问：1+1=？
思考：是不是在所有的情况下都是等于2呢？还是有前提的条件？
问：平面上两个确定的点之间是否线段的距离是最短的，为什么？
小结：在几何和代数中有一些结论是人们从生产生活的实践中总结而来，是无需证明的结论，我们称之为公理，其它的结论都可以借由公理和定义推导得出，在平面几何（欧式几何）中，公理有如下一些
1、任意两个点可以通过一条直线连接。 2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
可以看到第五条公理（平行公理）的描述都是由两部分组成，即条件的部分和结论的部分，用这样的方式描述的事情我们称之为命题。
例5： 1．人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理；它们可以作为判断其它命题真假的____ 2．能说明一个名词的含义，能界定某一个对象的句子叫做__________
3．判断一件事情的句子叫做______________；其判断为正确的命题叫做___________；其判断为错误的命题叫做____________。
4．有些命题是从___________或___________出发，用__________方法证明为正确的,并进 一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做_____________。 提示：
① 概念的定义是指对一个名词或术语的规定。定义指明了事物的本质属性，因而定义也具有判断的功能也就是说定义也可以作为推理的依据。
② 公理是在实践中反复验证，不加推理证明就承认其真实性的命题。 ③ 定理是必须经过推理证明，证得其正确性的命题。
定义、公理是定理的基础和推证依据，定理是命题，但命题并不都是定理，例如，假命题就 不是定理，因此只有“假命题”而没有“假定理”。
例6：“周长相等的两个三角形全等”是不是命题？如果是命题，把它改写成“如果??那么??”的形式，则它是真命题还是假命题？
练习：指出下列命题的题设和结论，并改写成“如果??那么??”的形式 1．等腰三角形的两个底角相等
2．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行 3．全等三角形对应边等、对应角等:
例7：确认一个命题是真命题要经过证明，证明一个命题是假命题只要举出一个反例 1．证明“两条平行线被第三条直线所截同旁内角的平分线互相垂直”是真命题
2．证明“锐角大于它的余角”是假命题
练习7：
1．证明：等腰三角形两底角的平分线相等
2．有人说：“如果一个三角形有一个角为60°，且夹这个角的两边之比为1：2，那么这个三角形一定是直角三角形”，你认为这个命题是真命题吗？作出你的推断。
:例8：反证法：
反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设，先假设命题的结论不成立。
（2）归谬，从这个假设出发，运用正确的推理方法，得出与定义、公理、已证定理或已知
条件相矛盾的结果。
（3）结论，由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。 解：已知：△ABC。
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A = ∠B = 90°，
则∠A +∠B+∠C=90°+90°+∠C>180° 。
这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立。 所以一个三角形中不能有两个角是直角。
小结：首先假设结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面 “∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后从这个假设出发推理得出矛盾。
