§2.3 等差数列的前n项和
授课类型：新授课
（第1课时）
一、教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决问题。
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。 二、教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应用 三、教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 四、教学过程 1、课题导入
“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家
出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。” 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规
律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 2、讲授新课
（1）等差数列的前n项和公式1：Sn?n(a1?an) 2证明： Sn?a1?a2?a3???an?1?an ① Sn?an?an?1?an?2???a2?a1 ②
①+②：2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an) ∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2??? ∴2Sn?n(a1?an) 由此得：Sn?n(a1?an) 2 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 （2）等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?n(n?1)d 2 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an 但an?a1?(n?1)d 代入公式1即得： Sn?na1?此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d 3、例题讲解： 课本P43的例1
例2：已知一个等差数列?an?的前10项和是310，前20项和是1220，由这些条件能确定这个数列的前n项和公式吗？
解：由题意知：S10?310,S20?1220 将它们代入公式Sn?na1?n(n?1)d 2n(n?1)d 2得到方程组， ?10a1?45d?310
??20a1?190d?1220解这个方程组得到：a1?4,d?6
2所以 Sn?3n?n
例3：已知数列?an?的前n项和为Sn?n?21求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，n，2写出它的首项和公差
解：根据Sn?a1?a2?L?an与Sn?1?a1?a2?L?an?1 可知，当n?1时，an?Sn?Sn?1?n?当n?1时，a1?S1?2111n?(n?1)2?(n?1)?2n? 2223， 213，首项为，公差为2 22所以?an?的通项公式为an?2n?由例3得与an之间的关系：
由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn?1，
?S1(n?1)即an=?.
S?S(n?2)n?1?n
4、课堂练习
课本P45练习1、2、3
练习①：根据题中条件，求相应的等差数列的前n项和表达式
a1??4,a8??18,n?8
解：由于a1??4,a8??18， 所以d?a8?a1??2 7代入前n项和表达式中：
S8?8?(?4)?8(8?1)?(?2)??88 2122n?n?3，求这个数列的通项公式. 43练习②：已知数列?an?的前n项和为Sn?解：根据Sn?a1?a2?L?an与Sn?1?a1?a2?L?an?1 可知，当n?1时，an?Sn?Sn?1?当n?1时，a1?1221215n?n?3?(n?1)2?(n?1)?3?n? 434321211?S1，所以 12?47,?????????????????n?1?? ?an?的通项公式为an??12?5?1n,?????????n?1??122练习③：求集合M?mm?2n?1,n???,且m?60的元素个数，并求这些元素的和. 解：由题意知
??m?2n?1?60
n?30.5所以，元素个数为30个
S30?30?1?5、课时小结
30(30?1)?2?900 2本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前n项和公式1：Sn?n(a1?an) 22.等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?Ⅴ.课后作业
课本P46习题[A组]2、3题
n(n?1)d 2
