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五大模型及其应用
教学目标
1. 掌握五大模型的特征，会从复杂图形中找出基本模型. 2. 灵活运用五大模型求直线型图形的面积和线段长度.
教学随笔
本讲主要掌握五大模型的特点，并会从各种复杂图形中找出基本模型，有的题目不仅仅只包含一种模型，建议老师根据学生找到的模型，引导学生解题，还有不包含基本模型的就是我们第二讲所要介绍的方法技巧.本讲题目基本上是按所讲模型顺序设计的，可能和老师的观点不统一，教师再讲课时可以灵活分类.
经典精讲
一、 等积变换模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
ABS1aS2bCD
如左图S1:S2?a:b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；
反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD． ④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
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二、 鸟头定理（共角定理）模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴（或D在BA的延长线上，E在AC上），则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)
DAADEEBCBC
图⑴ 图⑵
推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可 三、 蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
DAS2BS1OS3
①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
S4C蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
aADS1S2S4OS3BbC
①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③梯形S的对应份数为?a?b?．
四、 相似模型
相似三角形性质：
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ADBFGEC（金字塔模型）
EAFDB①
GC（沙漏模型）
ADAEDEAF； ???ABACBCAG②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
五、 燕尾定理模型 AS△ABG:S△AGC?S△BGE:S△EGC?BE:EC；
FS△BGA:S△BGC?S△AGF:S△FGC?AF:FC； GDS△AGC:S△BCG?S△ADG:S△DGB?AD:DB； CBE
【例 1】 （第3届华杯赛试题）
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：长方形的面积是 平方厘米．
21平方厘米黄红红绿
【例 2】 【例 3】 【例 4】 (2007年六年级希望杯二试试题)
如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF?DC,且AD?2DE．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．
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CEDFAABCEDFBCEDGABF
［巩固］ 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，
7，则阴影四边形的面积是多少？
AE377D3B7F7C
［分析］ 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计
算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形。
设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF?FE，再连结DE。 所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，
则x?3?3??AD:DB??x?10?:10，所以x?15，四边形的面积为18。
方法二：连接AF,用燕尾定理解
［拓展］ 如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三
角形ABC的面积是多少？
AFCAFCAFC
∵ADEF是长方形
【例 5】 （北京市第一届“迎春杯”刊赛）
如图．将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F．如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是 ．
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