以二因素调优试验设计为例。以现有的生产条件为中心，在中心条件周围A、B因素各取2个水平，共有5个条件：①A0B0；②A1B1；③A2B2；④A2B1；⑤A1B2，其中①是中心条件或原条件，各做一次做试验，称为一个循环，如图10-1所示，将试验结果记录在调优试验工作表中。
第四步 进行下一个循环
在同样条件下，进行第二、第三个循环，直到取得满意结果为止。从第二个循环开始，每做完一个循环的试验，都求出平均值、标准差、效应和误差限，判断是否再继续循环下去。从第三个循款开始，若发现有些因素效应是显著的，则循环到此为止，这叫做一个周相。
第五步 在每一周相中，若发现某因素效应有显著差异就对该效应各水平的平均值进行比较，并把中心条件①移到较好的水平上去，开始下一周相的试验。
第六步 在任一周相中，若经过六至十个循环仍未发现显著效应时，可以认为中心条件即为最佳条件而停止试验。
第七步 对考核指标进行综合分析判断，以确定最终的最佳生产条件。
§10.3 二因素调优试验设计
现以实例说明二因素调优试验设计的步骤与计算分析方法。
例10.3.1 某化工厂产品在生产中，运用调优试验设计来寻找好的工艺术参数。现有的化学反应条件就是：反应时间?A?取A0?60min，反应温度?B?取B0?120℃。根据实践经验，时间增减10min，温度增减10℃，都不会影响产品质量。试验指标为回收率（%）。
现按图10-1所列试验条件进行试验。图中的①、②、③、④、⑤是试验条件的编号，其中①是现有的条件，②、③、④、⑤是现有条件改变后的试验条件，具体是：条件①是60min和120℃；条件②是55min和115℃；条件③是65min和125℃；条件④是65min和115℃；条件⑤是55min和125℃。本例第1周相三个循环的试验数据如表10.3.1所示。
表10.3.1 某化学反应的回收率数据（%） 条件 循环 ① 1 2 3 73.8 72.2 69.4 ② 72.6 75.8 72.2 ③ 73.4 75.5 71.8 ④ 77.4 77.8 75.0 ⑤ 70.6 71.1 74.0
表10-2 二因素调优试验工作表（Ⅰ）
考核指标：回收率 循环数n?1 周相数=1 年 月 日 平 均 值 标 准 差 生 产 条 件 (1)前循环之和 (2)前循环的平均 (3)本循环的数据 (4)差数(2)-(3) (5)新的和：(1)+(3) (6)新的平均：?5?/n ① ② ③ ④ ⑤ (1)前循环?之和= (2)前循环?之平均= (3)左边(4)的极差R= (4)新的??K?R? (5)新?之和(1)+(4)= (6)新?平均??73.8 72.6 73.4 77.4 70.6 ?5?n?1? 效 应 误 差 限 （95%） 对平均值：L???? 对效应：L???? 对平均变化效应：M???? ??A的效应估计a??B的效应估计b1212?y3?y3?y4?y2?y5?? ?y5?y2?y4?? 12A?B的效应估计ab?平均变化效应CIM??y2?y3?y4?y5?? 15?y2?y3?y4?y5?4y1?? 表10.3.3 二因素调优试验工作表（Ⅲ）
考核指标：回收率 循环数n?2 周相数=1 年 月 日 平 均 值 标 准 差 生 产 条 件 (1)前循环之和 (2)前循环的平均 (3)本循环的数据 (4)差数(2)-(3) (5)新的和：(1)+(3) (6)新的平均：?5?/n ① 73.8 73.8 72.2 1.6 146.0 73.0 ② 72.5 72.6 75.8 -3.2 148.4 74.2 ③ 73.4 73.4 75.5 -2.1 148.9 74.4 ④ 77.4 77.4 77.8 -0.4 155.2 77.6 ⑤ 70.6 70.6 71.1 -0.5 141.7 70.8 (1)前循环?之和= (2)前循环?之平均= (3)左边(4)的极差R=4.8 (4)新的??K?R?1.5 (5)新?之和(1)+(4)=1.5 ?5??1.5 (6)新?平均??n?1误 差 限 （95%） 对平均值：L????2.1 对效应：L????2.1 对平均变化效应：M????1.9 效 应 ??A的效应估计a??B的效应估计b1212?y3?y3?y4?y2?y5??3.5 ?y5?y2?y4??-3.3 12A?B的效应估计ab?平均变化效应CIM??y2?y3?y4?y5??0.1 15?y2?y3?y4?y5?4y1??1.0
表10.3.4 二因素设计优试验工作表（Ⅲ）
考核指标：回收率 循环数n?3 周相数=1 年 月 日 平 均 值 标 准 差 生 产 条 件 (1)前循环之和 (2)前循环的平均 (3)本循环的数据 (4)差数(2)-(3) (5)新的和：(1)+(3) (6)新的平均：?5?/n 效 应 ① ② ③ ④ ⑤ (1)前循环?之和=1.5 (2)前循环?之平均=1.5 (3)左边(4)的极差R=6.8 (4)新的??K?R?2.4 (5)新?之和(1)+(4)=3.9 (6)新?平均???5?n?1?2.0 误 差 限 （95%） 对平均值：L????2.3 对效应：L????2.3 对平均变化效应：M????2.0 ??A的效应估计a??B的效应估计b1212?y3?y3?y4?y2?y5??2.5* ?y5?y2?y4??-2.4* 12A?B的效应估计ab?平均变化效应CIM??y2?y3?y4?y5??-0.8 15?y2?y3?y4?y5?4y1??1.7 表10.3.2~表10.3.4是二因素调优试验工作一有，用来对统计特征进行程序计算。表10-2只记录第一循环的试验结果即平均值，其他项目无需计算。从第二循环开始计算全部项目。现以第三循环的表10.3.4为例说明计算程序和方法。
调优试验工作表的计算项目有平均值、标准差、效应和误差限。以下分别予以说明。 1、平均值的计算
行（1）记入前循环的总和，即记入表10-3中（5）的数据； 行（2）记入前循环的平均，即记入表10-3中（6）的数据； 行（3）记入本循环的数据；
行（4）记入（2）减（3）的差数；
行（6）记工入（5）/n的值，这是到本循环为止的各条件的平均值。 2、效应的计算
因素所处的条件或状态称为水平，因素不同水平的试验值之差称为效应。
设：yni为条件i在第n循环中的平均值，由图10-1知，yn4?yn2是因素A在因素B固定于水平B1时的效应值；yn3?yn5是因素A在因素B固定于水平B2时的效应值。
?是这两个效应值的平均值，即 因素A的效应估计值a??a12??yn4??yn5?yn2???yn3?yn5???1212?yn3?yn3?yn4?yn2?yn5?
（10.3.1）
同样，因素B的效应估计值
??1b2?yn2???yn3?yn4????yn5?yn2?yn4?
（10.3.2）
当A与B存在交互作和A?B，其效应估计值
表称为平均变化效应，记为m，它由五种试验条件平均值与中心试验条件之试验结果之差表达，其效应估计算。
??m15210-4中CIMab?1??yn3?yn5???yn4?yn2???12?yn2?yn3?yn4?yn5?
（10.3.3）
?yn1?yn2?yn3?yn4?yn5??yn1?15?yn2?yn3?yn4?yn5?4yn1?
（10.3.4）
?的计算了如表10.3.4所示。 本例的a、b、ab、m3、标准差的计算
标准差?是非曲直表示数据离散程度的一个参数。?计算比较复杂。用极差R对?进行估计简单得多。
设yni为条件i在第n循环的试验值，则yni的数据结式为
yni????ab?i?rn?eni （10.3.5） 式中 ?ab? i——条件i对总平均值的效应； rn——第n循环的区组效应； eni——条件i在第n循环的误差。
再设y?n?1?i为条件i至n?1个循环的平均值，其数据结构式为
y?n?1?i????ab? i?rn?1?e?n?1?i i?1,2,3,4,5
（10.3.6）
据表10.3.4中平均值行（4）的计算，取（10.3.6）和（10.3.5）之差，则有
y?n?1?i?yni?rn?1?rn?e?n?1?i?eni i?1,2,3,4,5 （10.3.7） 上式中，条件i对总平均的效应?ab? i已被消去，故可将y?n?1?i?yni?i?1,2,3,4,5?视为随机变
量X的5次独立试验的观察值。将5个观察值递增顺序排列： X1?X2?X3?X4?X5 则
R?X5?X1 （10.3.8） 因而，随机变量X的方差
?E?R??V?X?????d2?2 （10.3.9）
?2.326上式中，d2是极差系数，其大小与i有关，当i?5时，d
当利用式（10.3.9）给出V?X?时，式（10.3.7）中的rn?1?r不起作用。故可把 e?n?1?i?eni ?i?1,2,3,4,5? 视为另一个随机变量Y的5次独立试验的观察值，随机变量Y为 V?Y???22??2n?1 （10.3.10）
式中 ?——误差方差。
因为，随机变量X与Y的方差相同，即
?E?R?? ??d?2?2??2??2n?1
所以
E?R?d2??nn?1
