第九章 均匀试验设计
均匀试验设计是我国数学工作者、教授对试验设计技术的发的一大贡献。它是根据数论在多维数值积分中的应用原理，构造一套均匀设计表，用来进行均匀试验设计。均匀试验设计最初见文献[29]，以后陆续在文献资料[30][31][32]等都对这和中方法进行理论和实际应用的探讨。本章主要参考文献[14][15][29][31]。
§9.1 概述
9.1.1、.均匀性
均匀性原则是试验设计优化重要原则之一。在试验设计的方案设计中，使试验点按一定规律充分均匀地分布在试验区域内，每个试验点都具有一定的代表性，则称该方案具有均匀性。
如前所述，正交表是正交试验设计优化的基本工具。它是利用正交表来安排试验的。正交表具有“均衡分散，综合可比”的两大特点。均衡分散性即均匀性，可使试验点均匀地分布在试验范围内，每个试点都具有一定的代表性。这样，即使正交表各列均排满，也能得到比较满意的结果；综合可比性即整齐可比性，由于正交表具有正交性，任一列各水平出现的次数都相当，任两列间所有可能的组合出现的次数都相等，这样，使行每一因素所有水平的试验条件相同，可以综合比较各因素不同水平均数对试验指标的影响，从而可以分析各因素及其交互作用对指标的影响大小及变化规律。
在正交试验设计中，对任意两个因素来说，为保证综合可比性，必须是全面试验，而每个因素的水一产必须有重复，这样以来试验点在试验范围内就不可能充分地均匀分散，试验点的数目就不能过少。显然，用正交表安排试验，均匀性受到一定限制，因而试验点的代表性不够强。若在试验设计中，不考虑综合可比性的要求，完全满足均匀性的要求，让试验点在这种完全从均匀性出发的试验设计方法，称为均匀试验设计。 水平的试验来说，在正交试验设计中可选择L25?5具有均匀性特点的均匀试验的试验点的代表性很强，例如，对于5试验，即4因素5
64?正交表安排试验，试验次数最少做25次，
其水平重复数r?n/mj?5?次?。若每个水平只做一次，同样做25次试验，在试验范围内，将每个因素分成25个水平，则试验分布得更均匀。图9-1所示的是当试验因素N?2时，正交试验设计与均匀试验设计的比较。正交试验设计取5个水平，每个水平重复5次，而均匀试验设计取25个水平，每个水平只做1次。显然，均匀试验设计的试验点较之正交试验设计的试验点分布得更均匀，代表性更强。对于这项5试验，利用均匀设计表U5?5?安排试验，在使各因素的水平数不少于5的前提下，可以方便地安排试验次数n为5?n?25的均
44匀试验。图9-2表示，N?2,m?5,n?5的均匀试验。显然，均匀试验设计的试验点心代表性较正交试验设计的试验点强得多。
图9-1 正交试验与均匀试验比较 图9-2 正交试验与均匀试验比较 （试验点数相等） （试验点数不等）
9.1.2、均匀试验设计的优点
均匀试验设计相对于全面试验和正交试验设计的最主要的优点是大幅度地减少试验次数，缩短
4试验周期，从而大量节约人工和费用。对于4因素5水平即5试验，如果进行全面试验需做625次试验，利用正交表L25?56?安排试验至少要做25次试验，但用均匀设计表U5?54?安排试验，只需做5次试验即可。再如，对于76试验，若进行全面试验，需做117，649次试验，若进行正交试验设计，选取U7?76?均匀设计表，只需做7次试验即可，重复一次，也不过做14次试验。因此，对于试验因素较多，特别是对于因素的水一产多而又希望试验次数少的试验，对于筛选因素或收缩试验范围进行逐步择优的场合，对于复杂数学试验的择优计算等，均匀试验设计是非常有效的试验设计方法。
9.1.3、均匀试验设计的应用与效果
由于均匀试验设计使试验周期大大缩短，能节省了大量的费用，所以均匀试验设计方法一出现就在工业生产中得到应用，也取得有效的成果。例如，苏州化工厂运用均匀试验设计法研制速淬火油取得明显的经济效益[32]。从方案设计、配方优化，直到产品技术标准有关指标制定等全过程进行优化设计，使快速淬火油不仅性能指标达到国外同类产品的水平，同时成本低廉，节省了外汇，仅上海宝钢一次用量126吨就节约35.82万元，节省外汇20.13万马
[31]
克。华北制药厂在青霉素球菌原材料配方中运用均匀试验设计法，使得优化后配方比原对照平均降低原材料消耗34%，平均提高发酵单位5%，每生产一批产品可获经济效益4500元，该厂一年生产几百批，取得显著经济效益。此外，国防工业上已在尺航导弹的设计中得到有效的应用。
§9.2 均匀设计表及其使用表
9.2.1 、均匀设计表与使用表
均匀设计是一种规格化的表格，是均匀试验设计的基本工具。均匀设计表仿照正交表以kUn?m?表示。表中U是均匀设计表代号，n表示横行数即试验次数，m表示每纵列中的不同字码的个数，即每个因素的水平数，k表示纵列数，即该均匀设计表最多安排的因素数。
6表7-1是一张U7?7?均匀设计表，可安排7个水平6个因素的试验，只做7次试验即可。表
6667-2也是一张均匀设计表。比较U7?7?和U6?U?可以看出，两表有一定的关系，即U6?6?66是将表L7?7?的最后一行划去而行的。表U7?7?称为水平数为奇数的均匀设计表，而表
69-2U6?6?称为水平数为偶数的均匀设计表。
表9.2.1 U 列号 试验号 1 2 7?7?
63 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 1 3 5 7 3 6 2 5 1 4 7 4 1 5 2 6 3 7 5 3 1 6 4 2 7 6 5 4 3 2 1 7
表9.2.2 U 列号 试验号 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 6?6?
63 3 6 2 5 1 4 64 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1 均匀设计表任两列之间不是平等的。例如，表U6?6?的第1、第3列和1、6列各水平的组合分别画在平面格子上，如图9.2.3所示。由图看出，?a?图中点子分布均匀，而?b?图中的点子均匀性就较差。因此，在均匀试验设计时应选择均匀性比较好的列，应按均匀设计表的使用表来进行表头设计。使用表可帮助我们在均匀试验设计时，选择合适的列来安排试
66验因素。表9.2.3所示的是U7?U?的使用表。由表知，在选择U7?7?进行均匀试验设计时，若只有两个因素，安排在第1列、第3列；若有3个因素，安排在第1列、第2列、第3列；若有4、5个因素，则分别安排在第1、2、3、6列；最后，若有6个因素，则6列全安排。实际中使用的每个均匀设计表，都附带一个使用表，在均匀试验设计时，所选的因素只有按规定的列进行表头设计时，才能取得较好的效果。
表9.2.3 U因素数 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 3 3 3 3 7?7?的使用表
6列 6 4 4 6 5 6 附带说明，水平数为偶数不清的均匀设计表，其使用表与相应的水平数奇数的均匀设计表相同，例如，U6?6U554696??、U?9?及它们的使用表如表9.2.4至表9.2.7所示。常用的均匀设计表见附表Ⅲ。
?的使用表U?7?的使用表。
67
表9.2.4 U55 列号 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 1 3 5 ??
43 3 1 4 2 5 4 4 3 2 1 5 表9.2.5 U55因素数 2 3 4 1 1 1 ??的使用表
4列 号 2 2 2 表9.2.6 U列号 4 3 4 9?9?
6试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 1 3 5 7 9 3 4 8 3 7 2 6 1 5 9 4 5 1 6 2 7 3 8 4 9 65 7 5 3 1 2 6 4 2 9 6 8 7 6 5 4 3 2 1 9 表9.2.7 U因素数 2 3 4 1 1 1 列 3 3 2 9?9?
5 3 5 号
