一、直线与平面垂直定义的建构 调。 ②结合图片①讨论探究下列问题： i)阳光下，旗杆 AB与它在地面上的影子 BC所成的角度是 多少？ ii )随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影 子BC所成的角度是否会发生改变 ？ iii)旗杆AB与地面上任意一条不过点 系如何？依据是什么？ 第i)与i )两问旨在让 学习者发现旗杆 AB所在 直线始终与地面上任意 一条过点B的直线垂直， 第iii)问进一B的直线BC的位置关 步让学习者 发现旗杆AB所在直线始 终与地面上任意一条不 过点B的直线也垂直。 ③动画演示：旗杆AB与它在地面上影子 A | | / / 通过学习者动手实践、讨 论交流和多媒体课件演 示，使其经历从实际背景 中抽象岀几何概念的全 过程，从而形成完整和正 确的概念。 的位置变化，先展示动画 1使学习者感 受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都 垂直。再重点展示动画 2使学习者明确 旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过/'c'C / 点B的直线BiG也垂直，让学习者体会直线与平面内不过垂足的 直线也垂直。 (3 )抽象概括一一理解概念 直线与平面垂直的定义： 如果直线1与平面a内的任意一条直线 让学习者进一步从文字 语言、符号语言、图形语 言三个方面对直线与平 面垂直的定义进行深入 地理解。 都垂直，我们就说直线l与平面a互相垂直，记作：1丄a .直线l 叫做平面a的垂线，平面a叫做直线1的垂面，它们唯一的公共 点P叫做垂足。即：m是平面G内任一直线 丨丄CC (4 )辨析讨论一一深化概念 丨丄m \ 通过对问题①的辨析讨 论，解释“无数”与“任 何”的不同，并说明线面 垂直的定① 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线 是否与这个平面垂直？ ② 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个 平面内的所有直线？ 义既是线面垂 直的判定又是性质。通过 对问题②的辨析讨论旨 在让学生掌握线线垂直 的一种判定方法。 (5)简单介绍我国古代的“日晷”一一应用概念 介绍我国古代用来计时 的一种仪器 日晷，它 就是线面垂直的重要应 用，让学习者感受数学的 应用价值，提高学习者学 习数学的热情。 (1 )分析实例一一猜想定理 ①观察在正方体 ABCD- ABiCiDi中直线与平面位置关系， 问题： i)图中有哪些线面垂直关系？你是如何判断的？ 回答以下 通过这组问题想让学生 认识到判断直线与平面 的垂直用定义很难做到 所以我们有必要寻找更 为简便可行的方法来判 断直线与平面的垂直，于 ii ）如果一条直线和一个平面 D1
‘1
C1
是就想到要减少直线的 条数从而引岀直线与平 面的垂直判定定理的探 索。
内的一条直线垂直，此直线是 -------- 1 |D A1 |D C ? 1 A
D1 A B C 面内的无数条直线垂直呢？ D1 1 /J B / i）你认为保证直线与底面垂 1 直的条件是什么？ i 1 \\ i ID |D C A z B
（2 ）动手实验一一确认定理 【折纸实验】 过厶ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕 AD再将 翻折后的纸片竖起放置在桌面上（ BD DC与桌面接触），进行观
z B
C1
刁 C
B 、 \\ z 学习者在折纸过程中可 能会岀现“垂直”与“不 垂直”两种情况，引导这 两类学习者进行交流，分 析“不垂直”的原因，通 过交流得到当且仅当折 痕AD是BC边上的高时， 且B D C不在同一直线 上的翻折之后竖起的折
察并思考: 1 ii ） 如何翻折才能使折痕 AD与桌面所在的平面垂直？若不过顶点 A翻折纸片呢？
iii） 翻折前后垂直关系发生变化了吗？由此你能得到什么结论？
C B
直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，
则该直线与此平面垂直。 用符号语言表示为：
痕AD才站立着，从而发 现垂直的条件一一折痕 AD是BC边上的高。 由于《课程标准》中不要 求证明线面垂直的判定 定理，只要求直观感知、 操作确认，注重合情推 理。因而在探索直线与平 面垂直判定定理的过程 中，安排学习者动手实 验、讨论交流，引导学习 者对实验现象进行观察 和分析，自己发现结论， 并通过问题让学习者真 正体会到知识产生的过 程，有利于发展学习者的 合情推理能力和空间想 象能力。三角形纸片的折
叠体现了有限与无限的 相互转化，既有合情推理 能力也有逻辑推理。 通过操作让学习者认识 到两条相交直线必须在 平面内，从而更凸现出定 理的核心词：平面内两条 相交直线。
A
a
（3 ）质疑反思一一深化定理
iv）将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线 BD不在桌面CD
所在平面内，直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗?
（此处引导学习者认识到直线 CD BD都必须是平面内的直线）
无限 有限
的直线有 的直线有 的直线有 的直线有 直线
与 平 面 垂 直判 疋 疋 理及
应用
问题1如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该 直线与此平引导学习者通过操作模 型面垂直吗？
（三角板）来确认，进 一步明确线面垂直的判 定定理中的“两条”、“相 交”缺一不可！ 让学习者
问题2 :如图，如果保证丨_ m,丨_ n，但是I明白要判定线 面是否垂不经过m和n的交 直，取决于在这 个平面内点，你认为直线I还垂直于平面二吗?
能否找出两条 相交直线和已知直线垂 直，至于这两条相交直线 是否和已知直线有公共 点，这是无关紧要的。 让学习者通过
问题3:（ 1）与直线与平面垂直的定义相比，你觉得这个判定定理 的优越性体（1）、（2） 体会“无限现在哪里？
转化为有限” 和“空间问
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么
？
题平面化”的 数学思想。考虑到学习者处于初学 阶
（4 ）尝试练习一一巩固定理
段，练习起学习补充的 作用，此题是对学习者思 维某公司要安装一根 8米高的旗杆，两位工人 先从旗策略的引导和启发，同 时杆的顶点挂两条长 10米的绳子，然 后拉紧绳子并规范证明题的书写。
把绳子的下端放在地面上两点
（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点
都和旗杆脚距离 6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这 是为什么吗？
问题4 :现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？ 为什么要用学到手的知识解释实 际求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安 装完了，请你去检生活中的问题，增强学 习验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？
者的应用意识，深化对 线面垂直判定定理理解。
例1.如右图，已知 a // b，a丄a，求证:
此题培养学习者的逻辑 推理能力和规范书写的 能力。
例2 :已知矩形A BC □过A 再作P A | 面A BC D, 学习者先尝试去做并板 过A 作A E | PB于E 过E 作E F_PCfF
演，师生共同评析，帮助 学习者明确运用定理时
（1）与面PAB1
直
的具体步骤，同时，展示 ⑵与面PC垂直
了线面垂直的枢纽作用， ⑶与面PA垂直
进一步提高转化和综合 运用知识能力。
⑷与直线PC!直
四、
总结 反思 提高 认识
五、
作业
设计
自主 探究
（1 ）通过学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?
（2 ）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题? （3）本节课你还有哪些问题？ 药定义法（任一直线 ） 线线
垂直判定定理 （两相交直线 ） 药面 线平垂 行 a “ b,a 丄优 b 丄
a 直 转化思想
线面垂直 线线垂直 课外正式作业：（1）如图，点P是平行四边形 ABCD所在平面外一 点，0是对角线 AC与BD的交点，且 PA=PC PB=PD.求证：POL 平面ABCD
（2）如图，PA丄平面 ABC , BC丄AC,写出图中所有的直
角三角形。
B
课外探究作业： 在三棱锥 V-ABC中，VA= VC, AB= BC,求证：VB 丄AC.
变式一：在上述条件中，若 E、F分别是AB BC的中点，试判断 EF与平面VKB的位置关系.
变式二：在变式一的条件下，有人说“ VB丄AC, VB丄EF,「. VB丄 平面ABC，对吗？
以问题讨论的方式进行 小结，通过小结使本节课 的知识系统化，使学习者 深刻理解数学思想方法 在解题中的地位和应用， 培养学习者养成认真总 结的学习习惯和反思的 习惯，使学习者在知识、 能力、情感三个维度得到 提高。
第（1 ）题主要运用直线 与平面垂直的判定定理； 第（2）题通过对厶PBC 是直角三角形进行证明， 意在培养学习者熟练进 行线线和线面之间垂直 关系的转化，从而准确和 灵活地应用判定定理和 定义。
课外探究作业重在对直 线与平面垂直判定定理 的应
用。3个小题环环相 扣,汇集了本节课的学习 内容，
突岀了知识间内在 联系和
融会贯通。
