小专题(八) “四法”确定三角函数值
方法1 回归定义
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5. (1)求AB的长；
(2)求sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB的值．
解：(1)AB＝AC＋BC＝13.
BC5BC5BC5
(2)sinA＝＝，cosB＝＝，tanA＝＝，
AB13AB13AC12AC12AC12AC12
sinB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝.
AB13AB13BC5
1
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.求：
3
2
2
(1)BC的长；
(2)tan∠DAE的值． 解：(1)在△ABC中， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1， ∴DC＝AD＝1.
1
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
3∴AB＝
AD
＝3. sinB
22∴BD＝AB－AD＝22. ∴BC＝BD＋DC＝22＋1. (2)∵AE是BC边上的中线， 11∴CE＝BC＝2＋. 221
∴DE＝CE－CD＝2－.
2DE1
∴tan∠DAE＝＝2－.
AD2
方法2 巧设参数
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(D) 3
A. 2
2
B. 3
C.6
2
D.6 3
3
4．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，则tan∠DBE的值是2．
5
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．
(1)求证：△ACE≌△AFE； (2)求tan∠CAE的值．
解：(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF， ∴CE＝EF.
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
??CE＝FE，? ?AE＝AE，?
∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)． (2)由(1)可知△ACE≌△AFE， ∴AC＝AF，CE＝FE.
设BF＝m，则AF＝2m，AC＝2m，AB＝3m， ∴BC＝AB－AC＝9m－4m＝5m.
AC2m2
∴在Rt△ABC中，tanB＝＝＝.
BC5m5在Rt△EFB中，EF＝BF·tanB＝∴CE＝EF＝
2m.
5
2m
5CE5
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝＝，
AC2m5∴tan∠CAE＝
5
. 5
2m5，
2
2
2
2
方法3 等角代换
6．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(B)
1A. 2 1B. 3 1 C. 4 D.2 437．(桂林中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是. 4
4
8．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则cos∠ADC＝.
5
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF 为折痕．若AE1
＝3，则sin∠BFD的值为.
3
10．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G.
(1)求证：△DCF≌△ADG；
(2)若点E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值． 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°， ∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFG＝90°. ∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°. ∴∠AGD＝∠CFD.
又∵∠ADG＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∠DCF＋∠CDE＝90°，∴∠ADG＝∠DCF. 在△DCF和△ADG中， ∠DFC＝∠AGD，??
?∠DCF＝∠ADG， ??DC＝AD，
∴△DCF≌△ADG(AAS)．
(2)设正方形ABCD的边长为2a. 1
∵点E是AB的中点，∴AE＝×2a＝a.
2
在Rt△ADE中，DE＝AD＋AE＝（2a）＋a＝5a， AEa5
∴sin∠ADG＝＝＝. DE5a5
2
2
2
2
∵∠ADG＝∠DCF＝α， ∴sinα＝
5. 5
方法4 构造直角三角形
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则cos∠AOB的值等于(A) A.25
5
B.5
2
C.3
2
1D. 2
12．(襄阳中考)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(B)
1
A. 2
B.
5
5
C.
10 10
D.
25
5
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求：
(1)线段BE的长； (2)∠ECB的正切值．
解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3， ∴∠A＝45°，
AB＝AC＋BC＝32.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A ＝45°.∴AE＝AD·cos45°＝2. ∴BE＝AB－AE＝22.
(2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H.
在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°， ∴EH＝BH＝EB·cos45°＝2. 又∵BC＝3, ∴CH＝1.
EH
在Rt△ECH中，tan∠ECB＝＝2，
CH即∠ECB的正切值是2.
2
2
